Question

【題目】在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=α，∠BCD=β，點E，F是四邊形ABCD內的兩個點，滿足∠EAF=，∠ECF=，連接BE，EF，FD．

（1）如圖1，當α=β時，判斷∠ABE和∠ADF之間的數量關系，并證明你的猜想；

（2）當α≠β時，用等式表示線段BE，EF，FD之間的數量關系(直接寫出即可)

Answer 1

【答案】（1）∠ABE+∠ADF=90°，見解析；（2）BE2+DF2= EF2．

【解析】

（1）結論：∠ABE+∠ADF=90°．將△ABE繞點A逆時針旋轉90°得到△ADM，將△BCE繞點C順時針旋轉90°得到△CDT，連接FM，TF．證明M，D，T共線，再證明FM=FT．DM=DT即可解決問題．

（2）結論：EF2=BE2+DF2．將△ABE繞點A逆時針旋轉α度得到△ADM，將△BCE繞點C順時針旋轉β度得到△CDT，連接FM，TF．證明∠FDM=90°，利用勾股定理即可解決問題．

（1）結論：∠ABE+∠ADF=90°．

理由：∵AB=AD，CB=CD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=∠BCD，

∴∠BAD=∠BCD=90°，

∴四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，

將△ABE繞點A逆時針旋轉90°得到△ADM，將△BCE繞點C順時針旋轉90°得到△CDT，連接FM，TF．

∵∠EAF=×90°=45°，

∴∠MAD+∠DAF=∠BAE+∠DAF=45°，

∴∠FAM=∠FAE，

∵AM=AE，AF=AF，

∴△AFM≌△AFE（SAS），

∴EF=FM，

同法可證：EF=FT，

∴FM=FT，

∵∠ADM+∠CDT=∠ABE+∠CBE=90°，

∴∠MDT=90°+90°=180°，

∴M，D，T共線，

∵DM=BE，DT=BE，

∴DM=DT，

∴FD⊥MT，

∴∠FDM=90°，

∴∠ADM+∠ADF=90°，

∵∠ADM=∠ABE，

∴∠ABE+∠ADF=90°．

（2）結論：EF2=BE2+DF2．

理由：∵AD=AB，CD=CB，

∴將△ABE繞點A逆時針旋轉α度得到△ADM，將△BCE繞點C順時針旋轉β度得到△CDT，連接FM，TF．

∵∠EAF=×∠DAB=α，

∴∠MAD+∠DAF=∠BAE+∠DAF=α，

∴∠FAM=∠FAE，

∵AM=AE，AF=AF，

∴△AFM≌△AFE（SAS），

∴EF=FM，

同法可證：EF=FT，

∴FM=FT，

∵∠ADM+∠CDT=∠ABE+∠CBE=90°，

∴∠MDT=90°+90°=180°，

∴M，D，T共線，

∵DM=BE，DT=BE，

∴DM=DT，

∴FD⊥MT，

∴∠FDM=90°，

∴FM2=DM2+DF2，

∵FM=EF，DM=BE，

∴EF2=BE2+DF2．