Question

【題目】如圖正方形ABCD，E、F分別為BC、CD邊上一點．

（1）若∠EAF＝45°，求證：EF＝BE+DF；

（2）若該正方形ABCD的邊長為1，如果△CEF的周長為2．求∠EAF的度數．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠EAF＝45°

【解析】

（1）延長CD至E'，使DE'＝BE，連接AE'，先證明△ADE'≌△ABE（SAS），得出∠E′AF＝∠EAF，再由SAS證明△E′AF≌△EAF，得出E′F＝EF，即可得出結論；

（2）延長CD至E'使DE'＝BE，連接AE'，可得△ADE'≌△ABE（SAS），然后判斷出AE'＝AE，∠DAE'＝BAE，再求出EF＝E'F，進而判斷出△E'AF≌△EAF（SSS），得出∠E'AF＝∠EAF，即可解決問題．

（1）證明：如圖，

延長CD至E'，使DE'＝BE，連接AE'，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB＝AD＝CB＝CD，∠BAD＝∠B＝90°，

∴∠ADE'＝90°＝∠ABE，

在△ADE'和△ABE中，，

∴△ADE'≌△ABE（SAS），

∴AE'＝AE，∠DAE'＝∠BAE，

∵∠EAF＝45°，

∴∠DAF+∠BAE＝45°，

∴∠DAF+∠DAE'＝∠E'AF＝45°＝∠EAF，

在△E′AF和△EAF中，，

∴△E′AF≌△EAF（SAS），

∴E′F＝EF，

∵E′F＝DE′+DF＝BE+DF，

∴EF＝BE+DF；

（2）延長CD至E'使DE'＝BE，連接AE'，

由（1）知，△ADE'≌△ABE（SAS），

∴AE'＝AE，∠DAE'＝BAE，

設BE＝x，DF＝y，

∵正方形ABCD的邊長為1，

∴CE＝1﹣x，CF＝1﹣y，

∵△CEF的周長為2，

∴CE+CF+EF＝2，

∴1﹣x+1﹣y+EF＝2，

∴EF＝x+y＝BE+DF＝DE'+DF＝E'F，

在△E'AF和△EAF中，，

∴△E'AF≌△EAF（SSS），

∴∠E'AF＝∠EAF，

∴∠DAE'+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠EAF，

∵∠DAF+∠EAF+∠BAE＝90°，

∴∠EAF＝45°．