Question

【題目】在△ABC中，AB = AC，在△ABC的外部作等邊三角形△ABD，E為AB的中點，連接 DE并延長交BC于點F.

(1)如圖1，若∠BAC = 90°，連接CD，求證：CD平分∠ADF；

(2)如圖2，過點A折疊∠CAD，使點C與點D重合，折痕AM交EF于點M，若點M正好在∠ABC的平分線上，連接BM并延長交AC于點N，課堂上兩個學習小組分別得出如下兩個結論：①∠BAC的度數是一個定值，為100°；②線段MN與NC一定相等.

請你選擇其中一個結論，判斷是否正確?若正確，給予證明:若不正確，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）根據等腰三角形的三線合一證DE⊥AB，再證AC//DE，得∠CDF=∠ACD，根據等邊對等角證∠ADC=∠ACD，等量代換即可證明.

（2）若選①，根據等腰三角形的三線合一求出DM垂直平分AB，得AM=BM，得∠BAM=∠ABM，設∠BAM=∠ABM=a，可根據條件表示出∠ACB，∠BAC，∠MAC，利用∠DAB=60°，∠DAM=∠CAM，列方程即可求出a的值，即可求解；若選②，連接MC，在①的基礎上求出∠MCN和∠NMC，即可判斷.

（1）∵△ABD是等邊三角形

∴AD=AB

∵AB=AC

∴.AD=AC

∴∠ADC=∠ACD

∵ E為AB的中點

∴DE⊥AB

∴∠BAC=90°

∴∠AED=∠BAC

∴AC//DE

∴∠CDF=∠ACD

∴∠ADC=∠CDF，即CD平分∠ADF

(2)若選①，正確.理由是：

在等邊△ABD中，∠BAD=60°

∵E為AB的中點，

∴DF垂直平分AB

∴AM-=BM

∴∠BAM=∠ABM

∵點M在∠ABC的平分線上

∴∠ABM=∠CBM

設∠BAM=∠ABM =a，則∠ABC=2a

∵AB=AC

∴∠ACB=∠ABC=2a

∴∠BAC=180°-4a

由折疊可知：∠DAM=∠CAM=60°+a

∴60°+a+a=180°-4a

∴a=20°

∴∠BAC =60°+20°+20°=100°

若選②，正確，理由是;

若接MC，根據題意得：∠ACM=∠ADM=×60°=30°

由①知，∠ACB=40°，∠NBC=20°

∠BCM=∠ACB -∠ACM=40°-30°=10°

∵∠NMC=∠NBC+∠BCM=30°

∴∠ACM=∠NMC

∴MN=NC.