Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠A=30°，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以2cm/s的速度沿折線A—C—B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)以a(cm/s)的速度沿AB運(yùn)動(dòng)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)某一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(s)，△APQ的面積為y(cm2)，y關(guān)于x的函數(shù)圖象由C1 ， C2兩段組成，如圖2所示.

（1）求a的值；
（2）求圖2中圖象C2段的函數(shù)表達(dá)式；
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段BC上某一段時(shí)△APQ的面積，大于當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上任意一點(diǎn)時(shí)△APQ的面積，求x的取值范圍.

Answer 1

【答案】
（1）

解：在圖1中，過(guò)P作PD⊥AB于D，∵∠A=30°，PA=2x，

∴PD=PA·sin30°=2x· =x，

∴y= = .

由圖象得，當(dāng)x=1時(shí)，y= ，則 = .

∴a=1.

（2）

解：當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)（如圖2），PB=5×2-2x=10-2x.

∴PD=PB·sinB=(10-2x)·sinB，

∴y= AQ·PD= x·（10-2x）·sinB.

由圖象得，當(dāng)x=4時(shí)，y= ,

∴ ×4×（10-8）·sinB= ，

∴sinB= .

∴y= x·（10-2x）· = .

（3）

解：由C1，C2的函數(shù)表達(dá)式，得 = ，

解得x1=0（舍去），x2=2，

由圖易得，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)y= 的最大值為y= .

將y=2代入函數(shù)y= ，得2= .

解得x1=2，x2=3，

∴由圖象得，x的取值范圍是2<x<3.

【解析】（1）C1段的函數(shù)解析式是點(diǎn)P在AC線段時(shí)y與x的關(guān)系，由S= AQ·（AQ上的高），而AQ=ax，由∠A=30°，PA=2x，可過(guò)P作PD⊥AB于D，則PD=PA·sin30°=2x· =x，則可寫(xiě)出y關(guān)于x的解析式，代入點(diǎn)（1， ）即可解出；（2）作法與（1）同理，求出用sinB表示出PD，再寫(xiě)出y與x的解析式，代入點(diǎn)（4， ），即可求出sinB，即可解答；（3）題中表示在某x的取值范圍內(nèi)C1<C2 ， 即此時(shí)C2的y值大于C1的y值的最大值，由圖易得，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)y= 的最大值為y= .將y=2代入函數(shù)y= ，求出x的值，根據(jù)函數(shù)y= ，的開(kāi)口向下，則可得x的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)，需要了解二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．