Question

【題目】如圖，是的弦，為半徑的中點，過作交弦于點，交于點，且．

（1）求證：是的切線；

（2）連接、，求的度數：

（3）如果，，，求的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析； （2）30°；（3）．

【解析】

（1）連接OB，由圓的半徑相等和已知條件證明∠OBC＝90°，即可證明BC是⊙O的切線；

（2）連接OF，AF，BF，首先證明△OAF是等邊三角形，再利用圓周角定理：同弧所對的圓周角是所對圓心角的一半即可求出∠ABF的度數；

（3）作CG⊥BE于G，如圖，利用等腰三角形的性質得BG＝5，再證明∠OAB＝∠ECG，則sin∠ECG＝sin∠OAB＝，于是可計算出CE＝13，從而得到DE＝2，由，得， ，即可求出的半徑.

連接．

，，

，，

又．

，

，

，

是的切線；

（2）連接OF，AF，BF，

，，

，

又，

是等邊三角形，

，

．

（3）過點作于，

，，

，

∴，

在中，

，sin∠ECG＝sin∠OAB＝，

，，

又，

．

由，得：，

，

的半徑為．