Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，⊙O過AC的中點D，DE切⊙O于點D，交BC于E．

（1）求證DE⊥BC；

（2）若⊙O的半徑為5，BE＝2，求DE的長度．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）DE＝4

【解析】

（1）連接OD ，DE是切線，則OD⊥DE，則OD是△ABC的中位線，可得OD∥BC，據此即可求證；

（2）過B作OD的垂線，垂足為F，證明四邊形DFBE為矩形，Rt△OFB中用勾股定理即可求得DE的長度.

證明（1）連接OD

∵DE切⊙O于點D

∴OD⊥DE

∴∠ODE＝90°

∵D是AC的中點，O是AB的中點

∴OD是△ABCD的中位線

∴OD∥BC

∴∠DEC＝90°

∴DE⊥BC

（2）過B作BF⊥OD

∵BF⊥OD

∴∠DFB＝90°

∴∠DFB＝∠DEB＝∠ODE＝90°

∴四邊形DFBE為矩形

∴DF＝BE＝2

∴OF＝OD－DF＝5－2＝3

∴DE＝BF＝4