Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線l：y=kx+h與x軸相交于點A（﹣1，0），與y軸相交于點C，與拋物線y=﹣x2+bx+3的一交點為點D，拋物線過x軸上的AB兩點，且CD=4AC．

（1）求直線l和拋物線的解析式；

（2）點E是直線l上方拋物線上的一動點，求當△ADE面積最大時，點E的坐標；

（3）設P是拋物線對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，四邊形APDQ能否為矩形？若能，請直接寫出點P的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）直線l的解析式為y=﹣x﹣1．（2）E（，）．（3）不存在.

【解析】分析：（1）把相關點的坐標代入解析式即可求解；

（2）過點E作EM⊥x軸，交AD于點M，設點E（m，-m2+2m+3），則M（m，-m-1），根據題意得出三角形面積關于m的二次函數，分析其最值即可；

（3）先根據題意分析當四邊形APDQ為平行四邊形時，確定點P，Q的坐標，在運用勾股定理的逆定理分析是否垂直即可．

詳解：（1）將A（-1，0）代入y=-x2+bx+3，得b=2，

所以拋物線的解析式為y=-x2+2x+3，

過點D作DF⊥x軸于點F，如圖1

易證△AOC∽△AFD，

∴，

∵CD=4AC，

∴，

∴點D橫坐標為4，

把x=4代入y=-x2+2x+3，得y=-5，

∴D（4，-5），

把x=4，y=-5；x=-1，y=0代入y=kx+h，

解得，k=-1，h=-1，

∴直線l的解析式為y=-x-1．

（2）過點E作EM⊥x軸，交AD于點M，如圖2

設點E（m，-m2+2m+3），則M（m，-m-1），

∴EM=-m2+2m+3-（-m-1）═-m2+3m+4，

∴S△ADE=×5（-m2+3m+4）=m2+m+10，

當m=時，△ADE的面積最大，

此時，E（，）．

（3）不存在

理由如下：

∵拋物線的對稱軸為直線x=1，

設P（1，m），

①若AD是平行四邊形ADPQ的一條邊，如圖3

則易得Q（-4，-21），

m=-21-5=-26，則P（1，-26），

此時AQ2=32+212=450，QP2=52+52=50，AP2=22+262=680，

∴AQ2+QP2≠AP2，

∴∠AQP≠90°，

此時平行四邊形ADPQ不是矩形；

②若AD是平行四邊形APDQ的對角線，如圖4

則易得Q（2，3），

m=-5a-3=-8，則P（1，-8），

PQ2=12+112=122，PD2=32+32=18QD2=22+82=68，

∴PD2+QD2≠PQ2，

∴∠PDQ≠90°，

此時平行四邊形ADPQ不是矩形，

綜上所述，四邊形APDQ不能為矩形．