Question

【題目】如圖所示，是等腰直角三角形，，AD是BC邊上的中線，過C作AD的垂線，交AB于點E，交AD于點O，求證：.

Answer 1

【答案】詳見解析

【解析】

∠ADC和∠BDE所在的三角形肯定不全等，那么本題需要作輔助線.△ABC是等腰直角三角形，常用的輔助線是作三線里面的一線.可發現要證全等，已包含兩個條件需利用全等得到另一邊對應相等.

證明：如圖: 作CH⊥AB于H交AD于P，

∵在Rt△ABC中，AC=CB，∠ACB=90°，

∴∠CAB=∠CBA=45°.

∴∠HCB=90°-∠CBA=45°=∠CBA=45°.

又∵BC中點為D，

∴CD=BD.

又CH⊥AB，

∴CH=AH=BH.

又∵∠PAH+∠APH=90°，∠PCO+∠CPO=90°，∠APH=∠CPO

∴∠PAH=∠ECH，

在△APH與△CEH中有：

∠PAH=∠ECH，AH=CH，∠PHA=∠EHC，

∴△APH≌△CEH（ASA）.

∴PH=EH，

又PC=CH-PH，BE=BH-HE，

∴CP=EB.

∵△ACB是等腰直角三角形，

∴∠B=45°，即∠EBD=45°，CH⊥AB，

∴∠PCD=45°=∠EBD，

在△PDC與△EDB中有：

PC=EB，∠PCD=∠EBD，DC=DB，

∴△PDC≌△EDB（SAS）.

∴∠ADC=∠EDB.