Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點E，交DC的延長線于點F，取EF的中點G，連接CG，BG．

（1）求證：△DCG≌△BEG；

（2）你能求出∠BDG的度數嗎？若能，請寫出計算過程；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠BDG＝45°，計算過程見解析

【解析】

（1）先求出∠BAE＝45°，判斷出△ABE是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得AB＝BE，∠AEB＝45°，從而得到BE＝CD，再求出△CEF是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得CG＝EG，再求出∠BEG＝∠DCG＝135°，然后利用“邊角邊”證明即可．

（2）由△DCG≌△AEG，得出∠DGC＝∠BGE，證出∠BGD＝∠EGC＝90°，即可得出結果．

（1）證明：∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE＝45°，

∴△ABE是等腰直角三角形，

∴AB＝BE，∠AEB＝45°，

∵AB＝CD，

∴BE＝CD，

∵∠CEF＝∠AEB＝45°，∠ECF＝90°，

∴△CEF是等腰直角三角形，

∵點G為EF的中點，

∴CG＝EG，∠FCG＝45°，

∴∠BEG＝∠DCG＝135°，

在△DCG和△BEG中，

，

∴△DCG≌△BEG（SAS）．

（2）解：∵△DCG≌△BEG，

∴∠DGC＝∠BGE，DG＝BG，

∴∠BGD＝∠EGC＝90°，

∴△BDG等腰直角三角形，

∴∠BDG＝45°．