Question

【題目】如圖，拋物線y=x22x+c的頂點A在直線l：y=x5上．

（1）求拋物線頂點A的坐標；

（2）設拋物線與y軸交于點B，與x軸交于點C、D（C點在D點的左側），試判斷△ABD的形狀；

（3）在直線l上是否存在一點P，使以點P、A、B、D為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（1，﹣4）；

（2）△ABD是直角三角形，理由見解析；

（3）存在點P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1），使以點A、B、D、P為頂點的四邊形是平行四邊形．

【解析】試題分析：（1）先根據拋物線的解析式得出其對稱軸方程，由此得到頂點A的橫坐標，然后代入直線l的解析式中即可求出點A的坐標．

（2）由A點坐標可確定拋物線的解析式，進而可得到點B的坐標．則AB、AD、BD三邊的長可得，然后根據邊長確定三角形的形狀．

（3）若以點P、A、B、D為頂點的四邊形是平行四邊形，應分①AB為對角線、②AD為對角線兩種情況討論，然后結合勾股定理以及邊長的等量關系列方程求出P點的坐標．

（1）∵頂點A的橫坐標為，且頂點在y=x﹣5上，

∴當x=1時，y=1-5=-4，

∴A（1，-4）．

（2）將A（1，-4）代入y=x2-2x+c，可得，1-2+c=-4，c=-3，

∴y=x2-2x-3，

∴B（0，-3）

當y=0時，x2-2x-3=0，x1=-1，x2=3

∴C（-1，0），D（3，0），

∵BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4-3）2+12=2，AD2=（3-1）2+42=20，

∴BD2+AB2=AD2，

∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．

（3）由題意知：直線y=x-5交y軸于點E（0，-5），交x軸于點F（5，0）

∴OE=OF=5，

又∵OB=OD=3

∴△OEF與△OBD都是等腰直角三角形

∴BD∥l，即PA∥BD

則構成平行四邊形只能是PADB或PABD，如圖，

過點P作y軸的垂線，過點A作x軸的垂線交過P且平行于x軸的直線于點G．

設P（x1，x1-5），則G（1，x1-5）

則PG=|1-x1|，AG=|5-x1-4|=|1-x1|

PA=BD=3

由勾股定理得：

（1-x1）2+（1-x1）2=18，x12-2x1-8=0，x1=-2或4

∴P（-2，-7）或P（4，-1），

存在點P（-2，-7）或P（4，-1）使以點A、B、D、P為頂點的四邊形是平行四邊形．