Question

【題目】已知拋物線的頂點在定直線上．

(1)求點的坐標(用含的式子表示)；

(2)求證：不論為何值，拋物線與定直線的兩交點間的距離恒為定值；

(3)當的頂點在軸上，且與軸交于、兩點(點在點左側)時，在上是否存在兩點、，設交線段于點，使，且直線將的面積分成的兩部分？若存在，求出直線的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）C（-2m，-4m-3）；（2）見解析；（3）存在，直線MN的解析式為：y=x+3-2或y=x+3-2．

【解析】

（1）可用配方法將拋物線的解析式配成頂點式，從而可得出結果；

（2）設頂點坐標為（x，y），從而可用含m的代數式表示x、y，消去m，就可得到x與y的關系，得出定直線l的解析式，將直線l的解析式與拋物線的解析式聯立，消去y，求出x，就可得到兩交點的橫坐標，將橫坐標代入直線l的解析式進而可得出兩個交點的坐標，然后運用兩點之間的距離公式就可解決問題；
（3）先得出C1的解析式，求出A，B，C的坐標，再進一步得出∠ACB=60°，所以MN∥BC，從而根據直線BC的解析式可設MN的解析式為y=x+m．由直線MN將△ABC的面積分成兩部分，設MN與x軸交于點T，可分為以下兩種情況：①當S△APT:S四邊形PTBC=1:2時，則S△APT=S△ABC；當S△APT:S四邊形PTBC=2:1時，則S△APT=S△ABC，再根據相似三角形的性質可求出AT的長，從而可得出點T的坐標，代入直線MN的解析式可求出m的值，即可得出結果．

解：（1）∵y=x2+4mx+4m2-4m-3=（x+2m）2-4m-3，
∴拋物線的頂點C的坐標為（-2m，-4m-3）；
（2）設拋物線的頂點坐標為（x，y），
則有x=-2m①，y=-4m-3②，

由①②消去m得，y=2x-3，
∴定直線l的解析式為y=2x-3．

聯立拋物線與直線l的解析式得，

，消去y整理得，x2+（4m-2）x+4m2-4m=0，

∴（x+2m）(x+2m-2)=0，∴x1=-2m，x2=2-2m，

∴拋物線與定直線l的兩交點坐標為（-2m，-4m-3），（2-2m，1-4m），

∴d==．

故不論為何值，拋物線與定直線的兩交點間的距離恒為定值；

（3）存在．∵拋物線的頂點在y軸上，∴-2m=0，即m=0．

∴C1的解析式為y=x2-3，

∴A(-，0)，B（，0），C（0，-3），

∴BO=AO=，OC=3，∴AB=2，tan∠ACO=，

∴∠ACO=30°，同理可得∠BCO=30°，

∴∠APN=2∠ACO=60°，∴∠APN=∠ACB=60°，

∴MN∥BC，

設直線BC的解析式為y=kx+b，則，得k=，

∴設直線MN的解析式為y=x+m，設MN與x軸交于點T，

情況1：如圖①，當S△APT:S四邊形PTBC=1:2時，則S△APT=S△ABC，

又PT∥BC，∴△APT∽△ACB，

∴，∴AT==2，∴OT=2-，

∴點T的坐標為（2-，0）．

將點T的坐標代入y=x+m得，m=3-2，

∴直線MN的解析式為y=x+3-2．

情況2：如圖②，當S△APT:S四邊形PTBC=2:1時，則S△APT=S△ABC，

∴，∴AT==2，∴OT=2-，

∴點T的坐標為（2-，0）．

將點T的坐標代入y=x+m得，m=3-2，

∴直線MN的解析式為y=x+3-2．

綜上所述，直線MN的解析式為：y=x+3-2或y=x+3-2．