Question

【題目】如圖，在直角坐標平面內，直線y=－x+5與 軸和 軸分別交于A、B兩點，二次函數y= +bx+c的圖象經過點A、B，且頂點為C．

（1）求這個二次函數的解析式；
（2）求sin∠OCA的值；
（3）若P是這個二次函數圖象上位于x軸下方的一點，且 ABP的面積為10，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：由直線y=－x+5得點B（0，5），A（5，0），將A、B兩點的坐標代入 ，

得 ，解得 ∴拋物線的解析式為

（2）解：過點C作CH⊥x軸交x軸于點H

把 配方得 ∴點C（3，-4），

∴CH=4，AH=2，AC= ∴OC=5， ∵OA=5 ∴OA=OC ∴∠OAC=∠OCA

sin∠OCA=sin∠OAC=

（3）解：過P點作PQ x軸并延長交直線y=－x+5于Q

設點P（m， －6m+5），Q（m，-m+5） ∴PQ=－m+5－（ －6m+5）=－ +5m

∵

∴

∴ ∴

∴P（1，0）（舍去），P（4，-3）

【解析】（1）根據直線y=－x+5與 軸和 軸分別交于A、B兩點，求出A,B兩點的坐標，然后將A、B兩點的坐標代入 ，得出關于c,b的方程組，解出方程組，求出c,b的值就能求出拋物線的解析式了；
（2）過點C作CH⊥x軸交x軸于點H 將拋物線配方成頂點式，得出頂點C的坐標，從而得出CH,AH,的長，根據勾股定理得出AC，OC的長，進而判斷出OA=OC 根據等邊對等角得出∠OAC=∠OCA，然后根據等角的同名三角函數值相等得出答案；
（3）過P點作PQ x軸并延長交直線y=－x+5于Q，設點P（m， m 2 －6m+5），Q（m，-m+5） ∴PQ=－m+5－（ m 2 －6m+5）=－ m 2 +5m，根據 列出方程求解就能得出m的值，從而得出P點的坐標。