Question

【題目】如圖，P為等腰△ABC內一點，AB=BC，∠BPC=108°，D為AC中點，BD與PC相交于點E，已知P為△ABE的內心．

（1）求證：∠PEB=60°；

（2）求∠PAC的度數．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）48°

【解析】

（1）先由P為△ABE的內心，∠BPC=108°易知∠BAE=36°，再由△ABC為等腰三角形，D為AC中點，∠BPC=108°得到∠CBE=∠ABE=2∠PBE，且∠CBP=∠BCP=∠BAE=36°，即可得到∠CBE=24°，再利用∠PEB=∠BCE+∠CBE得證.

（2）易知∠AED=∠CED=∠BEP=60°,從而得到∠EAD=30，利用∠PAC=∠EAD+∠PAE即可得解.

（1）∵P為△ABE內心，

∴PB、PE、PA分別是∠ABE、∠AEB、∠BAE角平分線；

即：∠PBE+∠PEB+∠PAE=90°，

又∵∠BPC=108°，

∴∠PBE+∠PEB=72°，

∴∠PAE=18°，∠BAE=36°；

∵AB=BC且D是AC中點，

∴∠ABE=∠CBE；BD⊥AC，

又∵BE=BE，AB=CB；

∴△ABE≌△CBE；即∠BCE=∠BAE=36°；

又∵∠BPC=108°，

∴∠CBP=36°，

∵又∠CBE=∠ABE=2∠PBE；

設∠PBE=∠ABP=x，則∠CBE=2x, 由∠CBP=∠CBE+∠PBE=36°,有2x+x=36°,

∴x=12°,

所以∠CBE=2x=24°，所以∠PEB=∠BCE+∠CBE=36°+2×14°=60°；

（2）由（1）知△ABE≌△CBE；

∴∠BEC=∠BEA，

∴∠CED=∠AED=∠PEB=60°；

∴∠EAD=30°，

∴∠PAC=∠EAD+∠PAE =30°+18°=48°。