Question

【題目】兩個全等的等腰直角三角形按如圖方式放置在平面直角坐標系中，OA在x軸上，已知∠COD=∠OAB=90°，OC=，反比例函數y=的圖象經過點B．

（1）求k的值．

（2）把△OCD沿射線OB移動，當點D落在y=圖象上時，求點D經過的路徑長．

Answer 1

【答案】（1）k=2；（2）點D經過的路徑長為．

【解析】

（1）根據題意求得點B的坐標，再代入求得k值即可；（2）設平移后與反比例函數圖象的交點為D′，由平移性質可知DD′∥OB，過D′作D′E⊥x軸于點E，交DC于點F，設CD交y軸于點M（如圖），根據已知條件可求得點D的坐標為（﹣1，1），設D′橫坐標為t，則OE=MF=t，即可得D′（t，t+2），由此可得t（t+2）=2，解方程求得t值，利用勾股定理求得DD′的長，即可得點D經過的路徑長．

（1）∵△AOB和△COD為全等三的等腰直角三角形，OC=，

∴AB=OA=OC=OD=，

∴點B坐標為（），

代入得k=2；

（2）設平移后與反比例函數圖象的交點為D′，

由平移性質可知DD′∥OB，過D′作D′E⊥x軸于點E，交DC于點F，設CD交y軸于點M，

如圖，

∵OC=OD=，∠AOB=∠COM=45°，

∴OM=MC=MD=1，

∴D坐標為（﹣1，1），

設D′橫坐標為t，則OE=MF=t，

∴D′F=DF=t+1，

∴D′E=D′F+EF=t+2，

∴D′（t，t+2），

∵D′在反比例函數圖象上，

∴t（t+2）=2，解得t=或t=﹣﹣1（舍去），

∴D′（﹣1， +1），

∴DD′==，

即點D經過的路徑長為．