Question

【題目】如圖，AB、AC分別是⊙O的直徑和弦，OD⊥AC于點D．過點A作⊙O的切線與

OD的延長線交于點P，PC、AB的延長線交于點F．

（1）求證：PC是⊙O的切線；

（2）若∠ABC=60°，AB=10，求線段CF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）5

【解析】

（1）連接OC，可以證得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的對應角相等，以及切線的性質定理可以得到：∠OCP=90°，即OC⊥PC，即可證得；

（2）先證△OBC是等邊三角形得∠COB=60°，再由（1）中所證切線可得∠OCF=90°，結合半徑OC=5可得答案．

（1）連接OC．

∵OD⊥AC，OD經過圓心O，∴AD=CD，∴PA=PC．

在△OAP和△OCP中，∵，∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OCP=∠OAP．

∵PA是半⊙O的切線，∴∠OAP=90°，∴∠OCP=90°，即OC⊥PC，∴PC是⊙O的切線．

（2）∵OB=OC，∠OBC=60°，∴△OBC是等邊三角形，∴∠COB=60°．

∵AB=10，∴OC=5．

由（1）知∠OCF=90°，∴CF=OCtan∠COB=5．