Question

【題目】如圖，四邊形中的三個頂點在⊙上，是優弧上的一個動點(不與點、重合).

(1)當圓心在內部，時，________.

(2)當圓心在內部，四邊形為平行四邊形時，求的度數;

(3)當圓心在外部，四邊形為平行四邊形時，請直接寫出與的數量關系.

Answer 1

【答案】120

【解析】試題分析：（1）連接OA，如圖1，根據等腰三角形的性質得∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，則∠OAB+∠OAD=∠ABO+∠ADO=60°，然后根據圓周角定理易得∠BOD=2∠BAD=120°；

（2）根據平行四邊形的性質得∠BOD=∠BCD，再根據圓周角定理得∠BOD=2∠A，則∠BCD=2∠A，然后根據圓內接四邊形的性質由∠BCD+∠A=180°，易計算出∠A的度數；

（3）討論：當∠OAB比∠ODA小時，如圖2，與（1）一樣∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，則∠OAD-∠OAB=∠ADO-∠ABO=∠BAD，由（2）得∠BAD=60°，

所以∠ADO-∠ABO=60°；當∠OAB比∠ODA大時，用樣方法得到∠ABO-∠ADO=60°．

解： (1)連接OA,如圖1,

∵OA=OB，OA=OD，

∵∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，

∴∠OAB+∠OAD=∠ABO+∠ADO=60°,即∠BAD=60°，

∴∠BOD=2∠BAD=120°；

故答案為120°；

(2)∵四邊形OBCD為平行四邊形，

∴∠BOD=∠BCD，

∵∠BOD=2∠A，

∴∠BCD=2∠A，

∵∠BCD+∠A=180°,即3∠A=180°，

∴∠A=60°；

(3)當∠OAB比∠ODA小時，如圖2，

∵OA=OB,OA=OD,

∵∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，

∴∠OAD∠OAB=∠ADO∠ABO=∠BAD，

由(2)得∠BAD=60°，

∴∠ADO∠ABO=60°；

當∠OAB比∠ODA大時，

同理可得∠ABO∠ADO=60°，

綜上所述,.