Question

【題目】如圖，Rt△OAB如圖所示放置在平面直角坐標系中，直角邊OA與x軸重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt△OAB繞點O逆時針旋轉90°，點B旋轉到點C的位置，一條拋物線正好經過點O，C，A三點．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）在x軸上方的拋物線上有一動點P，過點P作x軸的平行線交拋物線于點M，分別過點P，點M作x軸的垂線，交x軸于E，F兩點，問：四邊形PEFM的周長是否有最大值？如果有，請求出最值，并寫出解答過程；如果沒有，請說明理由．
（3）如果x軸上有一動點H，在拋物線上是否存在點N，使O（原點）、C、H、N四點構成以OC為一邊的平行四邊形？若存在，求出N點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：因為OA=4，AB=2，把△AOB繞點O逆時針旋轉90°，

可以確定點C的坐標為（2，4）；由圖可知點A的坐標為（4，0），

又因為拋物線經過原點，故設y=ax2+bx把（2，4），（4，0）代入，

得 ，解得

所以拋物線的解析式為y=﹣x2+4x；

（2）

解：四邊形PEFM的周長有最大值，理由如下：

由題意，如圖所示，設點P的坐標為P（a，﹣a2+4a）則由拋物線的對稱性知OE=AF，

∴EF=PM=4﹣2a，PE=MF=﹣a2+4a，

則矩形PEFM的周長L=2[4﹣2a+（﹣a2+4a）]=﹣2（a﹣1）2+10，

∴當a=1時，矩形PEFM的周長有最大值，Lmax=10；

（3）

解：在拋物線上存在點N，使O（原點）、C、H、N四點構成以OC為一邊的平行四邊形，理由如下：

∵y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4可知頂點坐標（2，4），

∴知道C點正好是頂點坐標，知道C點到x軸的距離為4個單位長度，

過點C作x軸的平行線，與x軸沒有其它交點，過y=﹣4作x軸的平行線，與拋物線有兩個交點，

這兩個交點為所求的N點坐標所以有﹣x2+4x=﹣4 解得x1=2+ ，x2=2﹣

∴N點坐標為N1（2+ ，﹣4），N2（2﹣ ，﹣4）．

【解析】（1）根據旋轉的性質可求出C的坐標和A的坐標，又因為拋物線經過原點，故設y=ax2+bx把（2，4），（4，0）代入，求出a和b的值即可求出該拋物線的解析式；（2）四邊形PEFM的周長有最大值，設點P的坐標為P（a，﹣a2+4a）則由拋物線的對稱性知OE=AF，所以EF=PM=4﹣2a，PE=MF=﹣a2+4a，則矩形PEFM的周長L=2[4﹣2a+（﹣a2+4a）]=﹣2（a﹣1）2+10，利用函數的性質即可求出四邊形PEFM的周長的最大值；（3）在拋物線上存在點N，使O（原點）、C、H、N四點構成以OC為一邊的平行四邊形，由（1）可求出拋物線的頂點坐標，過點C作x軸的平行線，與x軸沒有其它交點，過y=﹣4作x軸的平行線，與拋物線有兩個交點，這兩個交點為所求的N點坐標所以有﹣x2+4x=﹣4，解方程即可求出交點坐標．
【考點精析】掌握二次函數的性質是解答本題的根本，需要知道增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．