Question

【題目】如圖，拋物線y=kx2﹣2kx﹣3k交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，已知OC=OB．

（1）求拋物線解析式；

（2）在直線BC上求點P，使PA+PO的值最小；

（3）拋物線上是否存在點Q，使△QBC的面積等于6？若存在，請求出Q的坐標；若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3，（2）（，﹣），（3）存在點Q（﹣1，0）或（4，5），使△QBC面積等于6．

【解析】

試題分析：（1）令y=0可得A，B的坐標，令x=0求出點C的坐標，再根據OC=OB求出k即可得拋物線解析式；

（2）作O的關于BC的對稱點O′，連接AO′與BC交于點P，此時PA+PO的值最小，先求出AO′所在的直線與BC所在直線聯立可求出交點P的坐標．

（3）在y軸上取一點E（0，1），過點E作ED⊥BC于點D，則△CBE的面積等于6，過點E作EQ平行于BC，交拋物線于點Q，運用直線EQ的解析式與拋物線聯立求出點Q的坐標，注意BC下面的另一條與拋物線組成的方程無實根，沒有交點．

解：（1）∵拋物線y=kx2﹣2kx﹣3k，

令y=0得0=kx2﹣2kx﹣3k，即0=x2﹣2x﹣3，

解得x1=﹣1，x2=3，

∴A（﹣1，0），B（3，0）

令x=0得y=﹣3k，

∴點C（0，﹣3k），

∵OC=OB，

∴3k=3，解得k=1，

∴拋物線解析式為：y=x2﹣2x﹣3，

（2）如圖1，作O的關于BC的對稱點O′，連接O′C，O′B，連接AO′與BC交于點P，此時PA+PO的值最小

∵OC=OB，OO′⊥BC，

∴BC被OO′平分，

∴四邊形OBO′C是正方形，

∴點O′的坐標為（3，﹣3），

∵A（﹣1，0），設AO′所在的直線的解析式為y=kx+b，

∴，解得，

∴AO′所在的直線的解析式為y=﹣x﹣，

由B（3，0），C（0，﹣3）得BC所在直線的解析式為y=x﹣3．

∴聯立組成方程組，解得，

∴直線AO′與直線BC的交點P的坐標為（，﹣），

（3）存在

如圖2，

∵△QBC的面積等于6，

∴△QBC的面積=BCh，

∵OC=OB=3

∴BC=3，

∴h=6×2÷3=2．

∵∠OCB=45°，

∴在y軸上取一點E（0，1），過點E作ED⊥BC于點D，則△CBE的面積等于6，過點E作 EQ平行于BC的平行線y=x+1，交拋物線于點Q，

由，解得或，

∴Q（﹣1，0）或（4，5）

同理當E點的坐標為0，﹣7）時直線解析式為：y=x﹣7，

由，得x2﹣3x+4=0，△＜0，方程無實根．

綜上存在點Q（﹣1，0）或（4，5），使△QBC面積等于6．