Question

【題目】如圖，已知CD是△ABC中AB邊上的高，以CD為直徑的⊙O交CA于點E，點G是AD的中點．

（1）求證：GE是⊙O的切線；

（2）若AC⊥BC，且AC=8，BC=6，求切線GE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：

（1）連接OE、OG，由已知易證OG是△ACD的中位線，由此可得OG∥AC，結合OE=OC，由平行線的性質和等腰三角形的性質可證得∠EOG=∠DOG，從而可證得△EOG≌△DOG，由此可得∠OEG=∠ODG=90°，即可證得EG是⊙O的切線；

（2）由已知條件易得AB=10，GD是⊙O的切線，則GE=GD，在Rt△ACD和Rt△BCD中，由AC2-AD2=CD2，BC2-BD2=CD2可得AC2-AD2=BC2-BD2，設BD=x，則AD=10-x，列出方程解得x的值，即可得到AD的長，從而得到GD的長就可得到GE的長了.

試題解析：

（1）連接OE，OG；

∵AG=GD，CO=OD，

∴OG是△ACD的中位線，

∴OG∥AC．

∴∠OEC=∠GOE，∠ACD=∠GOD．

∵OE=OC，

∴∠ACD=∠OEC．

∴∠GOD=∠GOE．

∵OE=OD，OG=OG，

∴△OEG≌△ODG．

∴∠OEG=∠ODG=90°．

∴GE是⊙O的切線．

（2）∵AC=8，BC=6，

∴AB==10．

∴OD⊥GD．

∴GD也是圓O的切線．

∴GD=GE．

設BD=x，則AD=10﹣x，

在Rt△CDA和Rt△CDB中，

由勾股定理得：CD2=82﹣（10﹣x）2，CD2=62﹣x2

∴82﹣（10﹣x）2=62﹣x2

解得x＝，

∴AD=10﹣=．

又∵點G是AD的中點，

∴GE=GD=AD=．

即切線GE的長為．