Question

【題目】如圖1，O為平面直角坐標系的原點，點A坐標為（4，0），同時將點A，O分別向上平移2個單位，再向左平移1個單位，得到對應點B，C．

（1）求四邊形OABC的面積；

（2）在y軸上是否存在一點M，使△MOA的面積與四邊形OABC的面積相等？若存在這樣一點，求出點M的坐標，若不存在，請說明理由；

（3）如圖2，點P在OA邊上，且∠CBP=∠CPB，Q是AO延長線上一動點，∠PCQ的平分線CD交BP的延長線于點D，在點Q運動的過程中，求∠D和∠CQP的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）8（2）M（0，4）或（0，-4）（3）∠CQP=2∠D

【解析】

（1）首先證明四邊形OABC是平行四邊形，理由平行四邊形的面積公式計算即可；

（2）存在．如圖1中，設M（0，m），根據絕對值方程即可解決問題；

（3）結論：∠CQP=2∠D．如圖3中，延長CP到K．首先證明∠DPQ=∠DPK，設∠DPQ=∠DPK=x，∠DCQ=∠DCP=y，構建方程組即可解決問題；

（1）如圖1中，由題意B（3，1），C（-1，2），

∴BC∥OA，BC=OA，

∴四邊形ABCO是平行四邊形．

∴S平行四邊形ABCD=4×2=8．

（2）存在．理由：如圖1中，設M（0，m）

由題意S△AOM=8，

∴×4×|m|=8

∴m=±4，

∴M（0，4）或（0，-4）．

（3）結論：∠CQP=2∠D．

理由：如圖3中，延長CP到K．

∵BC∥OA，

∴∠CBP=∠DPQ，

∵∠CBP=∠CPB，∠CPB=∠DPK，

∴∠DPQ=∠DPK，設∠DPQ=∠DPK=x，∠DCQ=∠DCP=y，

則有，

①-2×②得到∠CQP=2∠D．