Question

【題目】如圖，拋物線經過兩點，與x軸交于另一點B．點P是拋物線上的動點。

（1）求拋物線的解析式；

（2）是否存在點P，使得△BCP是以BC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，說明理由；

（3）當P運動到第一象限時，過P作直線PM平行y軸，交直線BC于點M。

①求線段PM長度的最大值

②D為平面內任意一點，當線段PM最大時，是否存在以C、P、M、D為頂點的平行四邊形。若存在，直接寫出所有符合條件的點D坐標.

Answer 1

【答案】(1) ;(2)見解析;(3) ①4; ②D1,D2 ,D3.

【解析】分析: （1）把兩點代入求出拋物線解析式；

（2）先確定B（4，0），則判斷△OBC為等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°，設第一種情況，當以C為直角頂點時，過點P作PT⊥y軸，利用TC=TP，可列方程，即可求得滿足條件的P點坐標；第二種情況，當以B為直角頂點時，過點P作PH⊥x軸，可得PH=HB,從而, 即可求得滿足條件的P點坐標；

（3）①求出直線BC解析式, 根據PM平行y軸用二次函數表示P M的長度從而表示出PM的最大值;

②分3種情況:CM為對角線;MP為對角線;CP為對角線.

詳解:

（1）將兩點代入到中得，

∴拋物線的解析式為.

（2） 存在．

第一種情況，當以C為直角頂點時，過點P作PT⊥y軸，垂足為T。

由拋物線的解析式可得B點坐標為（4,0）

∴OB=OC，∠BOC =90°

∴∠OCB=∠OBC=45°．

∵∠BCP=90°，

∴∠TCP =45°=∠C PT．

∴TC=TP

設

即：，

解得：（舍去），．

∴

則P1的坐標是．

第二種情況，當以B為直角頂點時，

過點P作PH⊥x軸，垂足為H./span>∵∠CBA=45°，∠CBP=90°，

∴∠OBP=45°．∴∠HPB=45°，

∴PH=HB．

即：，

解得：（舍去），．

∴

則P2的坐標是．

綜上所述，P的坐標是或

(3)① ∵B（4,0）， ∴直線BC解析式為

又∵PM平行y軸，設

∴M。

則P M ==

∴線段PM長度的最大值為4.

②D1,D2 ,D3