Question

【題目】如圖，在∠△ACB和△DCE中，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，連接AE、BD交于點O，AE與DC交于點M，BD與AC交于點N．

(1)試判斷AE、BD之間的關系，并說明理由；

(2)連接CO，則下面兩個結論中選擇你認為正確的一個加以說明①射線CO平分∠ACD ②射線OC平分∠BOE

Answer 1

【答案】（1）AE=BD且AE⊥BD；（2）②正確．

【解析】

（1）根據∠ACB=∠DCE，可得∠DCB=∠ACE，已知AC=BC，CD=CE，可得△ACE≌△BCD，則AE=BD，∠CEA=∠BDC，根據三角形內角和定理可得∠DOM=∠ECM=90°，即有AE⊥BD；

（2）過C作CJ⊥AE于J，CK⊥DB于K．由△ACE≌△BCD，得到S△ACE=S△BCD，從而得到CJ=CK．由角平分線的判定即可得到結論．

（1）AE=BD且AE⊥BD．理由如下：

∵∠ACB=∠DCE，∴∠ACB+∠DCA=∠DCE+∠DCA，即∠DCB=∠ACE．

∵AC=BC，CD=CE，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD，∠CEA=∠BDC．

∵∠CME=∠DMO，∴∠DOM=∠ECM=90°，∴AE⊥BD，∴AE=BD且AE⊥BD．

（2）②正確．理由如下：

過C作CJ⊥AE于J，CK⊥DB于K．

∵△ACE≌△BCD，∴S△ACE=S△BCD，∴×AE×CJ=×DB×CK．

∵AE=DB，∴CJ=CK．

∵CJ⊥AE，CK⊥DB，∴OC平分∠BOE．故②正確．