Question

已知：如圖，⊙O的內接四邊形ABCD的對角線交于點M，點E、F分別為AB、CD的中點．
求證：∠OEM=∠OFM．

Answer 1

分析：先證△ABM∽△DCM（AA），根據相似三角形的對應邊成比例求得

AB

DC

=

BM

CM

；然后根據垂徑定理推知

BE

CF

=

1 2 AB

1 2 DC

=

AB

DC

=

BM

CM

；然后推知△EBM∽△FCM，根據對應角∠MEB=∠MFC；最后根據圖示中的角與角間的關系證明∠OEM=∠OFM．

解答：證明：∵E、F分別是AB、CD的中點，
∴OE⊥AB，OF⊥CD，且BE=

1

2

AB，CF=

1

2

DC
又∵∠ABD=∠DCA，∠BAC=∠CDB，
∴△ABM∽△DCM．
∴

AB

DC

=

BM

CM

．
∴

BE

CF

=

1 2 AB

1 2 DC

=

AB

DC

=

BM

CM

又∵∠EBM=∠FCM，
∴△EBM∽△FCM．
∴∠MEB=∠MFC．
而∠OEB=∠OFC=90°
∴∠OEM=∠MEB-∠OEB=∠MFC-∠OFC=∠OEM，即∠OEM=∠OFM．

點評：本題綜合考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質．解答該題的關鍵是根據垂徑定理求得BE=

1

2

AB，CF=

1

2

DC．