Question

【題目】如圖，△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MN∥BC．設MN交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F．

（1）求證：OE=OF；

（2）若CE=12，CF=5，求OC的長；

（3）當點O在邊AC上運動到什么位置時，四邊形AECF是矩形？并說明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）證明：如圖，∵MN交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F，

∴∠2=∠5，4=∠6。

∵MN∥BC，∴∠1=∠5，3=∠6。

∴∠1=∠2，∠3=∠4。∴EO=CO，FO=CO。

∴OE=OF。

（2）∵∠2=∠5，∠4=∠6，∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°。

∵CE=12，CF=5，∴。

∴OC=EF=6.5。

（3）當點O在邊AC上運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形。理由如下：

當O為AC的中點時，AO=CO，

∵EO=FO，∴四邊形AECF是平行四邊形。

∵∠ECF=90°，∴平行四邊形AECF是矩形。

【解析】（1）根據平行線的性質以及角平分線的性質得出∠1=∠2，∠3=∠4，進而得出答案。

（2）根據已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°，進而利用勾股定理求出EF的長，即可根據直角三角形斜邊上的中線性質得出CO的長。

（3）根據平行四邊形的判定以及矩形的判定得出即可。