Question

【題目】如圖，D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，且∠CDA=∠CBD．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若BC=6，tan∠CDA=，求CD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）4.

【解析】

（1）連接OD，如圖，先證明∠CDA=∠ODB，再根據圓周角定理得∠ADO+∠ODB=90°，則∠ADO+∠CDA=90°，即∠CDO=90°，于是根據切線的判定定理即可得到結論；

（2）由于∠CDA=∠ODB，則tan∠CDA=tan∠ABD=，根據正切的定義得到tan∠ABD=，接著證明△CAD∽△CDB，由相似的性質得，然后根據比例的性質可計算出CD的長．

詳（1）證明：連接OD，如圖，

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠BDO，

∵∠CDA=∠CBD，

∴∠CDA=∠ODB，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠ODB=90°，

∴∠ADO+∠CDA=90°，

即∠CDO=90°，

∴OD⊥CD，

∴CD是⊙O的切線；

（2）∵∠CDA=∠ODB，

∴tan∠CDA=tan∠ABD=，

在Rt△ABD中，tan∠ABD=，

∵∠DAC=∠BDC，∠CDA=∠CBD，

∴△CAD∽△CDB，

∴，

∴CD=×6=4．