Question

【題目】如圖，已知在矩形ABCD中，AD=6,DC=7，點H為AD上一點，并且AH=2，點E為AB上一動點，以HE為邊長作菱形HEFG，并且使點G在CD邊上，連接CF

（1）如圖1，當DG=2時，求證：四邊形EFGH為正方形；

（2）如圖2，當DG=6時，求△CGF的面積；

（3）當DG的長度為何值時，△CGF的面積最小，并求出△CGF面積的最小值；

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）1（3）當DG=時，△FCG的面積最小為（7-）

【解析】

（1）由于四邊形ABCD為矩形，四邊形HEFG為菱形，可得∠D=∠A=90°，HG=HE；已知AH=DG=2，易證△AHE≌△DGH，由全等三角形的性質可得∠DHG=∠HEA，再證得∠EHG=90°，即可判定四邊形HEFG為正方形；（2）過F作FM⊥DC，交DC延長線于M，連接GE，由于AB∥CD，可得∠AEG=∠MGE，同理有∠HEG=∠FGE，利用等式性質有∠AEH=∠MGF，再結合∠A=∠M=90°，HE=FG，可證△AHE≌△MFG，從而有FM=HA=2（即無論菱形EFGH如何變化，點F到直線CD的距離始終為定值2），進而可求三角形面積；（3）先設DG=x，由第（2）小題得，S△FCG=7-x，在△AHE中，AE≤AB=7，利用勾股定理可得HE2≤53，在Rt△DHG中，再利用勾股定理可得x2+16≤53，進而可求x≤，從而可得當x=時，△GCF的面積最小，由此即可解答．

（1）∵四邊形ABCD為矩形，四邊形HEFG為菱形，

∴∠D=∠A=90°，HG=HE，又AH=DG=2，

∴Rt△AHE≌Rt△DGH（HL），

∴∠DHG=∠HEA，

∵∠AHE+∠HEA=90°，

∴∠AHE+∠DHG=90°，

∴∠EHG=90°，

∴四邊形HEFG為正方形；

（2）過F作FM⊥DC，交DC延長線于M，連接GE，

∵AB∥CD，

∴∠AEG=∠MGE，

∵HE∥GF，

∴∠HEG=∠FGE，

∴∠AEH=∠MGF，

在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG，

∴△AHE≌△MFG，

∴FM=HA=2，即無論菱形EFGH如何變化，點F到直線CD的距離始終為定值2，

因此S△FCG＝×FM×GC＝×2×(7-6)＝1；

（3）設DG=x，則由第（2）小題得，S△FCG=7-x，在△AHE中，AE≤AB=7，

∴HE2≤53，

∴x2+16≤53，

∴x≤，

∴S△FCG的最小值為7-，此時DG=，

∴當DG=時，△FCG的面積最小為（7-）．