Question

【題目】如圖1，在三角形ABC中，D是BC上一點，且∠CDA＝∠CAB．（注：三角形內角和等于180°）

（1）求證：∠CDA＝∠DAB+∠DBA；

（2）如圖2，MN是經過點D的一條直線，若直線MN交AC邊于點E，且∠CDE＝∠CAD．求證：∠AED+∠EAB＝180°；

（3）將圖2中的直線MN繞點D旋轉，使它與射線AB交于點P（點P不與點A，B重合）．在圖3中畫出直線MN，并用等式表示∠CAD，∠BDP，∠BPD這三個角之間的數量關系，不需證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）∠CAD＝∠BDP+∠DPB.

【解析】

（1）根據三角形的內角和即可得到結論；

（2）根據三角形的內角和得到∠B＝∠CDE，得到MN∥BA，根據平行線的性質證明；

（3）根據三角形的外角性質證明．

（1）∵∠C+∠CAD+∠ADC＝∠C+∠CAB+∠B＝180°，

∴∠CAD+∠ADC＝∠CAB+∠B，

∵∠CDA＝∠CAB，

∴∠CAD＝∠B，

∵∠CAB＝∠CAD+∠DAB＝∠ABC+∠DAB，

∴∠CDA＝∠DAB+∠DBA；

（2）∵∠CDA＝∠CAB，∠C＝∠C，

∴180°-∠CDA-∠C＝180°-∠CAB -∠C

∴∠B＝∠CAD，

∵∠CDE＝∠CAD，

∴∠B＝∠CDE，

∴MN∥BA，

∴∠AED+∠EAB＝180°；

（3）∠CAD＝∠BDP+∠DPB

證明：由三角形的外角的性質可知，∠ABC＝∠BDP+∠DPB，

∵∠CDA＝∠CAB，∠C＝∠C，

∴∠B＝∠CAD，

∴∠ABC＝∠BDP+∠DPB．

∴∠CAD＝∠BDP+∠DPB.