Question

【題目】如圖，已知拋物線與軸相交于、兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)．若已知點(diǎn)的坐標(biāo)為．點(diǎn)在拋物線的對稱軸上，當(dāng)為等腰三角形時，點(diǎn)的坐標(biāo)為________．

Answer 1

【答案】，，

【解析】

首先求出拋物線解析式，然后利用配方法或利用公式x=-求出對稱軸方程，由此可設(shè)可設(shè)點(diǎn)Q（3，t），若△ACQ為等腰三角形，則有三種可能的情形，需要分類討論，逐一計算，避免漏解．

∵拋物線y=-x2+bx+4的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0），

∴-×（-2）2+b×（-2）+4=0，

解得：b=，

∴拋物線解析式為 y=-x2+x+4，

又∵y=-x2+x+4=-（x-3）2+，

∴對稱軸方程為：x=3，

∴可設(shè)點(diǎn)Q（3，t），則可求得：

AC=，

AQ=，

CQ=．

i）當(dāng)AQ=CQ時，

有=，

即25+t2=t2-8t+16+9，

解得t=0，

∴Q1（3，0）；

ii）當(dāng)AC=AQ時，

有=2，

即t2=-5，此方程無實(shí)數(shù)根，

∴此時△ACQ不能構(gòu)成等腰三角形；

iii）當(dāng)AC=CQ時，

有2=，

整理得：t2-8t+5=0，

解得：t=4±，

∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為：Q2（3，4+），Q3（3，4-）．

綜上所述，存在點(diǎn)Q，使△ACQ為等腰三角形，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4-）．

故答案為：（3，0），（3，4+），（3，4-）．