Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，若周長為2

7

+4，斜邊上中線為2．
（1）求這個直角三角形的面積；
（2）求這個直角三角形內切園的面積；
（3）若這個直角三角形兩個銳角的正切tgA和tgB是一個一元二次方程的兩個根，求這個一元二次方程？

Answer 1

分析：（1）首先根據直角三角形的性質：斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得到c=4，再根據已知條件得到關于a，b的方程組，可解出ab=6，進而可得到直角三角形的面積．
（2）由（1）可解得a+b=2

7

，則內切圓半徑=

a+b-c

2

，求出半徑后再用圓的面積公式S=πr²，求出直角三角形內切圓的面積；
（3）根據條件直角三角形兩個銳角的正切tgA和tgB是一個一元二次方程的兩個根，求出tgA•tgB與tgA+tgB，再根據根與系數的關系寫出方程即可．

解答：解：（1）設三邊為a，b，c，
∵斜邊上中線為2，
∴c=4
且

a+b=2 7 a2+b2=16

?

a+b=2 7 (a+b)2-2ab=16

?

a+b=2 7 ab=6

，
∴S_△ABC=3，

（2）設內切圓半徑為r，則r=

a+b-c

2

=

7

-2，
∴S內切圓=π(

7

-2)2，

（3）tgA•tgB=1，tgA+tgB=

a

b

+

b

a

=

a2+b2

ab

=

16

6

=

8

3

，
∴一元二次方程為x2-

8

3

x+1=0，
即3x²-8x+3=0．

點評：此題主要考查了直角三角形的性質，根與系數的關系，三角形的內切圓與圓心，以及三角函數的應用，準確把握每個知識點是解題的關鍵，很多同學由于基礎知識掌握不好導致錯誤的出現．