Question

【題目】如圖，拋物線經過點A（1，0）和點B（5，0），與y軸交于點C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）以點A為圓心，作與直線BC相切的⊙A，請判斷⊙A與y軸有怎樣的位置關系，并說明理由；

（3）在直線BC上方的拋物線上任取一點P，連接PB、PC，請問：△PBC的面積是否存在最大值？若存在，求出這個值和此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）相交；（3）S△PBC有最大值，此時P點坐標為（，）．

【解析】

試題分析：（1）把A、B兩點分別代入拋物線解析可求得a和b，可求得拋物線解析式；

（2）過A作AD⊥BC于點D，則AD為⊙A的半徑，由條件可證明△ABD∽△CBO，利用相似三角形的性質可求得AD的長，可求得半徑，進而得出答案；

（3）由待定系數法可求得直線BC解析式，過P作PQ∥y軸，交直線BC于點Q，交x軸于點E，可設出P、Q的坐標，可表示出△PQC和△PQB的面積，可表示出△PBC的面積，再利用二次函數的性質可求得其最大值，容易求得P點坐標．

試題解析：（1）∵拋物線經過點A（1，0）和點B（5，0），∴把A、B兩點坐標代入可得，解得：，∴拋物線解析式為；

（2）相交，理由：過A作AD⊥BC于點D，如圖1，∵⊙A與BC相切，∴AD為⊙A的半徑，由（1）可知C（0，﹣），且A（1，0），B（5，0），∴OB=5，AB=OB﹣OA=4，OC=，在Rt△OBC中，由勾股定理可得BC===，∵∠ADB=∠BOC=90°，∠ABD=∠CBO，∴△ABD∽△CBO，∴，即，解得AD=，即⊙A的半徑為，∵＞1，∴⊙A與y軸相交；

（3）∵C（0，﹣），∴可設直線BC解析式為y=kx﹣，把B點坐標代入可求得k=，∴直線BC的解析式為，過P作PQ∥y軸，交直線BC于點Q，交x軸于點E，如圖2，設P（x，），則Q（x，），∴PQ=（）﹣（）= =，∴S△PBC=S△PCQ+S△PBQ=PQOE+PQBE=PQ（OE+BE）=PQOB=PQ=，∴當x=時，S△PBC有最大值，此時P點坐標為（，），∴當P點坐標為（，）時，△PBC的面積有最大值．