Question

【題目】若兩個二次函數圖象的頂點相同，開口大小相同，但開口方向相反，則稱這兩個二次函數為“對稱二次函數”．

(1)請寫出二次函數y＝2(x－2)2＋1的“對稱二次函數”；

(2)已知關于x的二次函數y1＝x2－3x＋1和y2＝ax2＋bx＋c，若y1－y2與y1互為“對稱二次函數”，求函數y2的表達式，并求出當－3≤x≤3時，y2的最大值．

Answer 1

【答案】(1) y＝－2(x－2)2＋1；

(2) .

【解析】

（1）根據“對稱二次函數”的定義即可求解；
（2）根據y1-y2與y1互為“對稱二次函數”，求出函數y2的表達式，然后將函數y2的表達式轉化為頂點式，再利用二次函數的性質就可以解決問題．

(1)二次函數y＝2(x－2)2＋1的“對稱二次函數”是y＝－2(x－2)2＋1；

(2)∵y1＝x2－3x＋1，y2＝ax2＋bx＋c，

∴y1－y2＝(1－a)x2－(3＋b)x＋1－c＝(1－a)·[x－]＋.

又y1－y2與y1互為“對稱二次函數”，y1＝x2－3x＋1＝(x－)2－，

∴解得

∴y2＝2x2－6x＋，

∴y2＝2(x－)2，

∴y2的對稱軸為直線x＝，

∵2＞0，且－3≤x≤3，

∴當x＝－3時，y2最大值＝2×(－3)2－6×(－3)＋＝.