Question

【題目】已知：如圖，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，與CD相交于點F，H是BC邊的中點，連結DH與BE相交于點G.

(1)求證：BF=AC；

(2)求證：CE=BF；

(3)CE與BG的大小關系如何？試證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）CE＜BG.證明見解析.

【解析】

(1)證明△BDF≌△CDA，得到BF＝AC；（2）由（1）問可知AC＝BF，所以CE＝AE＝BF；（3） BG＝CG，CG在△EGC中，CE＜CG.

解:(1)證明:因為CD⊥AB, ∠ABC＝45°，

所以△BCD是等腰直角三角形.

所以BD＝CD.

在Rt△DFB和Rt△DAC中,

因為∠DBF＝90°－∠BFD, ∠DCA＝90°－∠EFC,

又∠BFD＝∠EFC,

所以∠DBF＝∠DCA.

又因為∠BDF＝∠CDA＝90°,BD＝CD,.

所以Rt△DFB≌Rt△DAC.

所以BF＝AC.

(2)證明:在Rt△BEA和Rt△BEC中,

因為BE平分∠ABC,

所以∠ABE＝∠CBE.

又因為BE＝BE, ∠BEA＝∠BEC＝90°,

所以Rt△BEA≌Rt△BEC.

所以CE＝AE＝AC.

又由(1),知BF＝AC,

所以CE＝AC＝BF.

(3)CE＜BG.證明:連接CG,

因為△BCD是等腰直角三角形,

所以BD＝CD,

又H是BC邊的中點,

所以DH垂直平分BC.

所以BG＝CG,

在Rt△CEG中,

因為CG是斜邊,CE是直角邊,

所以CE＜CG,即CE＜BG.