Question

【題目】在中，，點D是外一點，點D與點C在直線的異側，且點不共線，連接．

（1）如圖1，當時，畫出圖形，直接寫出之間的數量關系；

（2）當時，利用圖2，繼續探究之間的數量關系并證明；

（提示：嘗試運用圖形變換，將要研究的有關線段盡可能轉移到一個三角形中）

（3）當時，進一步探究之間的數量關系，并用含的等式直接表示出它們之間的關系．

Answer 1

【答案】（1）圖形見解析，之間的數量關系是；（2）；（3）

【解析】

（1）畫出圖形即可證得△ABC是等邊三角形，以BD為邊向外作等邊△BDE，利用SAS可證明△ABE≌△CBD故AE=CD，運用勾股定理即可的出答案；

（2）過點A作，且，利用勾股定理可得，利用SAS可證明，可得．

運用勾股定理在中，，即可得出答案；

（3）以BD為底邊構造等腰△BDE，使 ，連接AE，CD，過點A作AH⊥BC于點H，由兩邊成比例和它們的夾角相等可判定△ABC∽△EBD，故∠ABC=∠ACB=∠EBD=∠EDB，可得∠ADE=90°．

由△BED∽△BAC可得：，進而證明△EBA∽△DBC，可得 有三角函數可得推出，，利用勾股定理，將AE、DE代入 即可得出答案

解：（1）

∵ ，AB=AC

∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°

∴△ABC是等邊三角形

以BD為邊向外作等邊△BDE連接AE，CD

∵△ABC，△BDE都是等邊三角形

∴BA=BC=AC，BD=BE=DE

∠ABC=∠DBE=60°

∴∠ABC+∠ABD=∠DBE+∠ABD

∴∠CBD=∠ABE

在△ABE和△CBD中

∴△ABE≌△CBD（SAS）

∴AE=CD

∵∠ADB=30°，∠BDE=60°

∴∠ADE=∠ADB+∠BDE=90°

在Rt△ADE中

即

故答案為：

（2）如圖，過點A作，且，連接．

．

可得．

，

．

又，

．

在中，．

．

（3）以BD為底邊構造等腰△BDE

使 ，連接AE，CD

過點A作AH⊥BC于點H

∵AB=AC，BE=DE，∠BAC=∠BED=

∴

∴△ABC∽△EBD

∴∠ABC=∠ACB=∠EBD=∠EDB

=

=

∵

∴∠ADE=∠ADB+∠EDB=90°

∵△BED∽△BAC

∴

∵∠EBD+∠ABD=∠ABC+∠ABD

∴∠EBA=∠DBC

∴

∴△EBA∽△DBC

∴

∴AB=AC，AH⊥BC

∴

∴

∴

∴

∴

同理

∴

在Rt△ADE中

∴

∴

即．

故答案為：