Question

如圖，直線y=

4

3

x-4與x軸交于點A，與y軸交于點C，已知二次函數y=

4

3

x²+bx+c的圖象經過點A和C，和x軸的另一個交點為B．
（1）求該二次函數的關系式；
（2）直接寫出該拋物線的對稱軸及頂點M的坐標；
（3）求四邊形ABCM的面積S．

Answer 1

分析：（1）由直線y=

4

3

x-4與x軸交于點A，與y軸交于點C，分別令x=0與y=0，即可求得點A和C的坐標，又由二次函數y=

4

3

x²+bx+c的圖象經過點A和C，利用待定系數法即可求得此二次函數的關系式；
（2）由（1）中的二次函數的關系式，利用配方法即可求得其頂點式，則可求得該拋物線的對稱軸及頂點M的坐標．
（3）首先令y=

4

3

x²-

8

3

x-4中，y=0，得方程

4

3

x²-

8

3

x-4=0，解此方程即可求得點B的坐標，然后過M作x軸的垂線，垂足為D，由S_{四邊形ABCM}=S_△OBC+S_梯形OCDM+S_△ADM，即可求得四邊形ABCM的面積S的值．

解答：解：（1）∵直線y=

4

3

x-4與x軸交于點A，與y軸交于點C，
∴當x=0時，y=-4，當y=0時，x=3，
∴A（3，0），C（0，-4），
∵二次函數y=

4

3

x²+bx+c的圖象經過點A和C，
∴

c=-4 4 3 ×9+3b+c=0

，
解得：

b=- 8 3 c=-4

，
∴該二次函數的關系式為：y=

4

3

x²-

8

3

x-4；

（2）∵y=

4

3

x²-

8

3

x-4=

4

3

（x²-2x）-4=

4

3

（x-1）²-

16

3

，
∴該拋物線的對稱軸為x=1，頂點M的坐標為（1，-

16

3

）．

（3）令y=

4

3

x²-

8

3

x-4中，y=0，得

4

3

x²-

8

3

x-4=0，
∴x²-2x-3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴B（-1，0），
過M作x軸的垂線，垂足為D，
S_{四邊形ABCM}=S_△OBC+S_梯形OCDM+S_△ADM=

1

2

×1×4+

1

2

×（4+

16

3

）×1+

1

2

×（3-1）×

16

3

=12．

點評：此題考查了二次函數與一次函數的綜合應用．此題綜合性較強，難度較大，解題的關鍵是注意待定系數法求函數解析式，注意二次函數的一般式與頂點式的轉化，注意在求四邊形的面積時輔助線的作法與分割思想的應用．