Question

如圖，直線y=-

4

3

x+4與x軸交于點A，與y軸交于點C，已知二次函數的圖象經過點A、C和點B（-1，0）．
（1）求該二次函數的關系式；
（2）設該二次函數的圖象的頂點為M，求四邊形AOCM的面積；
（3）有兩動點D、E同時從點O出發，其中點D以每秒

3

2

個單位長度的速度沿折線OAC按O?A?C的路線運動，點E以每秒4個單位長度的速度沿折線OCA按O?C?A的路線運動，當D、E兩點相遇時，它們都停止運動．設D、E同時從點O出發t秒時，△ODE的面積為S．
①請問D、E兩點在運動過程中，是否存在DE∥OC，若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由；
②請求出S關于t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍；
③設S₀是②中函數S的最大值，那么S₀=

 

．

Answer 1

分析：（1）先根據直線AC的解析式求出A、C兩點的坐標，然后根據A、B、C三點的坐標用待定系數法即可求出拋物線的解析式．
（2）根據拋物線的解析式可求出M點的坐標，由于四邊形OAMC不是規則的四邊形，因此可過M作x軸的垂線，將四邊形OAMC分成一個直角三角形和一個直角梯形來求解．
（3）①如果DE∥OC，此時點D，E應分別在線段OA，CA上，先求出這個區間t的取值范圍，然后根據平行線分線段成比例定理，求出此時t的值，然后看t的值是否符合此種情況下t的取值范圍．如果符合則這個t的值就是所求的值，如果不符合，那么就說明不存在這樣的t．
②本題要分三種情況進行討論：
當E在OC上，D在OA上，即當0＜t≤1時，此時S=

1

2

OE•OD，由此可得出關于S，t的函數關系式；
當E在CA上，D在OA上，即當1＜t≤2時，此時S=

1

2

OD×E點的縱坐標．由此可得出關于S，t的函數關系式；
當E，D都在CA上時，即當2＜t＜

24

11

相遇時用的時間，此時S=S_△AOE-S_△AOD，由此可得出S，t的函數關系式；
綜上所述，可得出不同的t的取值范圍內，函數的不同表達式．
③根據②的函數即可得出S的最大值．

解答：解：（1）令y=0，則x=3，
∴A（3，0），C（0，4），
∵二次函數的圖象過點C（0，4），
∴可設二次函數的關系式為y=ax²+bx+4．
又∵該函數圖象過點A（3，0），B（-1，0），
∴

0=9a+3b+4 0=a-b+4

，
解得a=-

4

3

，b=

8

3

．
∴所求二次函數的關系式為y=-

4

3

x²+

8

3

x+4．

（2）∵y=-

4

3

x²+

8

3

x+4
=-

4

3

（x-1）²+

16

3

∴頂點M的坐標為（1，

16

3

）
過點M作MF⊥x軸于F
∴S_{四邊形AOCM}=S_△AFM+S_梯形FOCM
=

1

2

×（3-1）×

16

3

+

1

2

×（4+

16

3

）×1
=10
∴四邊形AOCM的面積為10．

（3）①不存在DE∥OC
∵若DE∥OC，則點D，E應分別在線段OA，CA上，此時1＜t＜2，在Rt△AOC中，AC=5．
設點E的坐標為（x₁，y₁）
∴

|x1|

3

=

4t-4

5

，
∴|x1|=

12t-12

5

∵DE∥OC，
∴

12t-12

5

=

3

2

t
∴t=

8

3

∵t=

8

3

＞2，不滿足1＜t＜2．
∴不存在DE∥OC．
②根據題意得D，E兩點相遇的時間為

3+4+5

3 2 +4

=

24

11

（秒）
現分情況討論如下：
（ⅰ）當0＜t≤1時，S=

1

2

×

3

2

t•4t=3t²；
（ⅱ）當1＜t≤2時，設點E的坐標為（x₂，y₂）
∴

|y2|

4

=

5-(4t-4)

5

，
∴|y2|=

36-16t

5

∴S=

1

2

×

3

2

t×

36-16t

5

=-

12

5

t²+

27

5

t；
（ⅲ）當2＜t＜

24

11

時，
設點E的坐標為（x₃，y₃），類似ⅱ可得|y3|=

36-16t

5

設點D的坐標為（x₄，y₄）
∴

|y4|

4

=

3 2 t-3

5

，
∴|y4|=

6t-12

5

∴S=S_△AOE-S_△AOD
=

1

2

×3×

36-16t

5

-

1

2

×3×

6t-12

5

=-

33

5

t+

72

5

．
③當0＜t≤1時，S=

1

2

×

3

2

t•4t=3t²，函數的最大值是3；
當1＜t≤2時，S=-

12

5

t²+

27

5

t．函數的最大值是：

243

80

，
當2＜t＜

24

11

時，S=-

33

5

t+

72

5

，0＜S＜

6

5

．
∴S₀=

243

80

．

點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式以及二次函數的應用等知識點，綜合性較強，考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．