Question

【題目】問題發現

如圖，正方形將正方形繞點旋轉，直線交于點請直接寫出線段與的數量關系是 ，位置關系是 _；

拓展探究

如圖，矩形將矩形繞點旋轉，直線交于點中線段關系還成立嗎/若成立，請寫出理由；若不成立，請寫出線段的數量關系和位置關系，并說明理由；

解決問題

在的條件下，矩形繞點旋轉過程中，請直接寫出當點與點重合時，線段的長，

Answer 1

【答案】；中數量關系不成立，位置關系成立．，理由見解析；或

【解析】

（1）證明△ADE≌△CDG（SAS），可得AE＝CG，∠DAG＝∠DCG，再由直角三角形兩個銳角互余即可證得AE⊥CG；

（2）先證明△ADE∽△CDG，利用相似三角形的性質證明即可．

（3）先通過作圖找到符合題意的兩種情況，第一種情況利用勾股定理求解即可；第二種情況借助相似三角形及勾股定理計算即可．

（1）；

理由如下：由題意知在正方形中，

，，

在△ADE與△CDG中，

∴△ADE≌△CDG（SAS）

∴，

∵對頂角相等，

∴

．

（2）（1）中數量關系不成立，位置關系成立．即：

理由如下：

由題意知在矩形中，，

，

，

∵對頂角相等

∴

．

綜上所述：

（3）

如圖1，當點G、P在點A處重合時，連接AE，

則此時∠ADE＝∠GDE＝90°

∴在Rt△ADE中，AE＝ ，

如圖1，當點G、P重合時， 則點A、E、G在同一直線上，

∵AD＝DG＝4，

∴∠DAG＝∠DGA，

∵∠ADC＝∠AGP＝90°，∠AOD＝∠COG，

∴∠DAG＝∠COG，

∴∠DGA＝∠COG，

又∵∠GDO＝∠CDG，

∴△GDO∽△CDG，

∴

∴

∴DO＝2，CG＝2OG，

∴OC＝DC－DO＝8－2＝6，

∵在Rt△COG中，OG2＋GC2＝OC2，

∴OG2＋（2OG）2＝62，

∴OG＝（舍負），

∴CG＝，

由（2）得：

∴AE＝，

綜上所述，AE的長為或．