Question

【題目】問題：如圖1，在中，，點是射線上任意一點，是等邊三角形，且點在的內部，連接．探究線段與之間的數量關系．

請你完成下列探究過程：

先將圖形特殊化，得出猜想，再對一般情況進行分析并加以證明．

當點與點重合時(如圖2)，請你補全圖形．由的度數為_______________，點落在_______________，容易得出與之間的數量關系為_______________

當是的平分線時，判斷與之間的數量關系并證明

當點在如圖3的位置時，請你畫出圖形，研究三點是否在以為圓心的同一個圓上，寫出你的猜想并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）60°；AB的中點處；BE=DE；（2）BE=DE，理由見解析；（3）A、B、D在以E為圓心的同一個圓上，畫圖和理由見解析

【解析】

（1）根據題意畫出圖形，由直角三角形及等邊三角形的性質即可得出結論；
（2）畫出圖形，根據題意證明AD=BD，再由△ADE是等邊三角形，得出∠BDE=60°，即△BDE為等邊三角形，可得結論；

（3）根據題意畫出圖形，猜想：BE=DE，取AB的中點F，連接EF，由∠ACB=90°，∠ABC=30°，可知∠1=60°，CF=AF=AB，故△ACF是等邊三角形，再由△ADE是等邊三角形可得出∠CAD=∠FAE，由全等三角形的判定定理可知△ACD≌△AFE，故∠ACD=∠AFE=90°．由F是AB的中點，可知EF是AB的垂直平分線，進而可得出△ADE是等邊三角形，故DE=AE，BE=DE，可得點E在BD的垂直平分線上，即可證明.

解：（1）如圖，
∵∠C=90°，∠ABC=30°，
∴∠BAC=60°，
∵△ADE是等邊三角形，
∴AE=CE，
∴點E落在AB的中點處；
∴AE=CE=BE=DE，
故答案為：60°；AB的中點處；BE=DE；

（2）BE=DE，

∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，

∴∠BAD=30°=∠ABC=∠CAD，

∴AD=BD，

∵△ADE是等邊三角形，

∴DE=AD，

∴DE=DB，

∵∠C=90°，

∴∠ADC=∠ADE=60°，

∴∠BDE=60°，

∴△BDE為等邊三角形，

∴BE=DE；

（3）如圖為所畫圖形，

猜想：A、B、D在以E為圓心的同一個圓上，

理由是：設AB中點為F，連接CF，EF，

∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠1=60°，CF=AF=AB，
∴△ACF是等邊三角形．
∴AC=AF，
∵△ADE是等邊三角形，
∴∠2=60°，AD=AE，
∴∠1=∠2，
∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，
即∠CAD=∠FAE，

在△ACD和△AFE中，

，
∴△ACD≌△AFE（SAS），
∴∠ACD=∠AFE=90°，
∵F是AB的中點，
∴EF是AB的垂直平分線，
∴BE=AE，
∵△ADE是等邊三角形，
∴DE=AE，
∴BE=DE，

∴點E在BD的垂直平分線上，

∴A、B、D在以點E為圓心的同一個圓上.