Question

【題目】已知：點(diǎn)E為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）如圖1，若△ABC是等邊三角形，以CE為邊在BC的同側(cè)作等邊△DEC，連結(jié)AD．試比較∠DAC與∠B的大小，并說(shuō)明理由；

（2）如圖2，若△ABC中，AB=AC，以CE為底邊在BC的同側(cè)作等腰△DEC，且△DEC∽△ABC，連結(jié)AD．試判斷AD與BC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）如圖3，若四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，以CE為邊在BC的同側(cè)作正方形ECGF．
①試說(shuō)明點(diǎn)G一定在AD的延長(zhǎng)線上；
②當(dāng)點(diǎn)E在AB邊上由點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)F隨之運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∠DAC=∠B

理由如下：

∵△ABC和△DEC都是等邊三角形

∴∠DCE=∠ACB=60°

∴∠BCE=∠ACD

在△BEC和△ADC中，

∴△BCE≌△ACD．

∴∠B=∠DAC

（2）解：AD∥BC

理由如下：

∵△ABC和△DEC都是等腰三角形，且△DEC∽△ABC

∴

∵∠DCE=∠ACB，

∴∠DCA=∠ECB．

∴△DCA∽△ECB．

∴∠DAC=∠EBC=∠ACB．

∴AD∥BC

（3）解：①連結(jié)DG．

∵四邊形ABCD和FECG都是正方形

∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°．

∴∠BCE=∠DCG．

∴△BCE≌△DCG．

∴∠B=∠CDG=90°．

∵∠ADC=90°．

∴∠ADC+∠CDG=180°

∴點(diǎn)G一定在AD的延長(zhǎng)線上．

②作FH⊥AG于點(diǎn)H．

∵∠BCE+ECD=90°，∠ECD+DCG=90°，

∴∠BCE=∠GCD．

∵∠GCD+∠CGD=90°，∠CGD+∠FGH=90°

∴∠FGH=∠GCD．

∴∠BCE=∠FGH=∠GCD．

在△FHG和△GDC和△EBC中，

，

∴△FHG≌△GDC≌△EBC，

∴FH=BE=DG，HG=BC，

∴AH=AG﹣GH=AD+DG﹣GH=BC+DG﹣BC=DG=FH，

∴△AFH是等腰直角三角形，

∴∠FAG=45°．

∴點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)=AC= =2

【解析】（1）可觀察后猜想兩角相等，須證兩角所在的三角形全等，即△BCE≌△ACD，得出∠B=∠DAC；（2）類比（1）的方法，觀察圖形，可猜想△DEC∽△ABC，進(jìn)而證出△DCA∽△ECB，得出∠DAC=∠EBC=∠ACB，AD∥BC；（3）先研究起始位置A，由△FHG≌△GDC≌△EBC，可得△AFH是等腰直角三角形，F(xiàn)的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檠嘏cAD夾角為45度方向移動(dòng)，終點(diǎn)為F，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)=AC，利用勾股定理求出.

【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解勾股定理的概念的相關(guān)知識(shí)，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對(duì)相似三角形的判定與性質(zhì)的理解，了解相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．