Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點B，與y軸交于點C，拋物線經過點B和點C，且與x軸交于另一點A，連接AC，點D在BC上方的拋物線上，設點D的橫坐標為m，過點D作DH⊥BC于點H．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）線段DH的長為　　　　(用含m的代數式表示)；

（3）點M為線段AC上一點，連接OM繞點O順時針旋轉60°得線段ON，連接CN，當CN=，m=6時，請直接寫出此時線段DM的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或．

【解析】

（1）利用待定系數法即可求得解析式；

（2）利用勾股定理列方程計算即可得出；

（3）作∠NPO=60°（點P在x軸上），作NQ⊥x軸，交x軸于點Q，

作NH⊥y軸交y軸于點H，作MG⊥x軸交x軸于點G，交DS于點T，DS⊥x軸于點S，

做出輔助線后根據條件討論即可．

（1）根據可得B（11，0），C（0，），

將B，C兩點代入，

得，解得，

∴解析式為：；

（2）由題意可得B（11，0），C（0，），

∴OB=11，OC=，

∵D點的橫坐標為m，

∴D點的坐標可表示為（m，）

∴|BC|=，

|DC|=，

|BD|=，

設CH=x，

∴|DC|2-x2=|BD|2-(14-x)2

解得x=,

|DH|=；

（3））如圖，作∠NPO=60°（點P在x軸上），作NQ⊥x軸，交x軸于點Q，

作NH⊥y軸交y軸于點H，作MG⊥x軸交x軸于點G，交DS于點T，DS⊥x軸于點S，

∵拋物線交x軸于點A，B，

∴令

解得x1=11，x2=-5，

即A（-5，0），OA=5，

∵tan=，

∴∠CAO=60°，∠ACO=30°，

∵∠MON=60°，∠CAO=120°，

∴∠MOA+∠NOP=120°，∠MOA+∠AMO=120°，

∴∠NOP=∠AMO，

在△MOA和△ONP中,

∴△MOA≌△ONP（AAS），

∴NP=OA=5，

在Rt△NQP中，QP=NP·cos60°=，NQ=NP·sin60°=，

在四邊形NHOQ中，∠NQO=∠QOP=∠OQN=90°，

∴∠HNQ=90°，

∴四邊形NHOQ是矩形，

∴OH=NQ=，CH=OC-OH=-=，

在Rt△CHN中，HN=，

在Rt△HNO中，ON=，

∴OM=ON=，

設MG=a，則GC==，OG=-，

在Rt△MOG中，DM2=MG2+OG2，

即212=a2+（-）2，整理得：（a-3）（2a-9）=0，

解得a1=3，a2=，

當m=6時，D（6，），

①a1=3時，MT=3+6=9，TS=OG=，DT=-=，

在Rt△DMT中，DM=，

②a2=時，MT=+6=，TS=OG=，DT=-=，

在Rt△MDT中，DM=，

綜上DM的值為或．