Question

【題目】在平面直角坐標系中，為坐標原點，點，點.

（Ⅰ）如圖①，求AB的長；

（Ⅱ）如圖②，把圖①中的繞點B順時針旋轉，使點O的對應點AM恰好落在OA延長線上，N是點A旋轉后的對應點.

①求證：；②求點N的坐標；

（Ⅲ）點C是OB的中點，點D為線段OA上的動點，在繞點B順時針旋轉過程中，點D的對應點是P，求線段CP長的取值范圍（直接寫出結果）.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①見解析，②；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）過A作，垂足為C，根據點，點得出AC和BC的長，再根據勾股得出AB的長

（Ⅱ）①根據旋轉的性質可得，再根據等腰三角形的性質可得，從而得出，繼而得出結論

②過N作軸，垂足為E.連接AN，根據旋轉的性質和一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形AOBN是平行四邊形，得出，再根據勾股定理求出BE，從而求出點N的坐標；

（Ⅲ）過B作CP⊥AO于P，以B為圓心BP為半徑畫圓交BC于P1，和以B為圓心BO為半徑畫圓交OB的延長線于P2，得出CP的最大和最小值解答即可；

解：（Ⅰ）過A作，垂足為C，

，

.

在中，

（Ⅱ）①由（I）得

由旋轉得

②過N作軸，垂足為E.連接AN

，

∴四邊形AOBN是平行四邊形。

在中，.

（III）如圖，過B作CP⊥AO于P，以B為圓心BP為半徑畫圓交BC于P1， CP1有最小值，

此時

∴BP=，∴BP1=，
∴CP1的最小值為 -3=；

以B為圓心BO為半徑畫圓交OB的延長線于P2，，CP 2有最大值；
此時CP2=BC +BP2=3+6=9．

線段CP長的取值范圍: .