Question

【題目】（定義新知）在數軸上，點M和點N分別表示數x1和x2 ，可以用絕對值表示點M、N兩點間的距離d (M，N)，即d (M，N)＝|x1－x2|．

（初步應用）

（1）在數軸上，點A、B、C分別表示數－1、2、x， 解答下列問題：

①d (A，B)＝ ；

②若d(A，C)＝2，則x的值為 ；

③若d(A，C)＋d(B，C)＝d(A，B)，且x為整數，則x的取值有 個．

（綜合應用）

（2）在數軸上，點D、E、F分別表示數－2、4、6．動點P沿數軸從點D開始運動，到達F點后立刻返回，再回到D點時停止運動．在此過程中，點P的運動速度始終保持每秒2個單位長度．設點P的運動時間為t秒．

①當t＝ 時，d(D，P)＝3；

②在整個運動過程中，請用含t的代數式表示d(E，P)．

Answer 1

【答案】(1)①3；②1或－3；③4；(2)① t＝1.5或6.5；②當0＜t≤4時，d(E，P) ＝|6－2t|，當4＜t≤8時，d(E，P) ＝|2t－10|

【解析】

（1）①根據題意，d (A，B)表示A、B兩點之間的距離，A、B表示的數代入計算即可；

②根據d(A，C)＝2，列方程求解即可；

③根據d(A，C)＋d(B，C)＝d(A，B)，列出方程，分情況討論，再根據x為整數判斷即可；

（2）①先計算出點P從D到F的時間，然后進行分情況討論，分別求出點P所對應的數，再列方程求解即可；

②根據①中求出的點P所對應的數，進行列式即可.

解：（1）①d (A，B)=|－1－2|=3；

②∵d(A，C)＝2，

∴|－1－x|=2，即－1－x=2或－1－x=－2；

∴x=－3或1；

③∵d(A，C)＋d(B，C)＝d(A，B)，

∴|－1－x|+|2－x|=3，

當時，|－1－x|+|2－x|=－1－x+2－x=3，x=－1，

當時，|－1－x|+|2－x|=1+x+2－x=3，x取0、1、2，

當時，|－1－x|+|2－x|=1+x+x－2=3，x=2，

綜上所述，x的取值有4個；

（2）由題可得，d(D，F) =8，點P從D到F的時間為4秒，運動路程為2t，

①當時，點P表示的數為2t－2，則

d(D，P)＝|－2－(2t－2)|=3，解得t=或（舍去），

當時，點P表示的數為14－2t，則

d(D，P)＝|－2－(14－2t)|=3，解得t=（舍去）或，

綜上所述，t＝1.5或6.5；

② 當時，點P表示的數為2t－2，則d(E，P)=|4－(2t－2)|=|6－2t|，

當時，點P表示的數為14－2t，則d(E，P)=|4－(14－2t)|=|2t－10|.

另解：

當0＜t≤3時，d(E，P) ＝6－2t，

當3＜t≤4時，d(E，P) ＝2t－6，

當4＜t≤5時，d(E，P) ＝10－2t，

當5＜t≤8時，d(E，P) ＝2t－10.