Question

【題目】在△ABC中，AB＝AC，CD是AB邊上的中線，點E在邊AC上（不與A，C重合），且BE＝CD．設＝k，若符合條件的點E有兩個，則k的取值范圍是_____．

Answer 1

【答案】且

【解析】

符合條件的點E有兩個E、E1，則AC邊上的高垂直平分EE1，由等腰三角形的性質得出BE是中線，AE=CE，求出當CD⊥AB時，BE⊥AC，滿足條件的點E有一個，此時△ABC是等邊三角形，AB=BC，=1；求出當滿足條件的一個點E1與點A重合時，=；當滿足條件的一個點E1與點C重合時，BE=BC，證明△BCE∽△ABC，得出=，求出AB=BC，得出=,即可得出結果．

解：設=k，若符合條件的點E有兩個E、E1，

則AC邊上的高垂直平分EE1，

∵AB=AC，CD是AB邊上的中線，BE=CD，

∴BE是中線，AE=CE，

當CD⊥AB時，BE⊥AC，滿足條件的點E有一個，

此時△ABC是等邊三角形，AB=BC，

=1；

當滿足條件的一個點E1與點A重合時，BE=AB，

作BG⊥AC于G，如下圖所示：

則AG=EG=AE=AC=AB，

由勾股定理得：BG2=AB2-AG2，

BC2=BG2+CG2=AB2-AG2+CG2=AB2-（AB）2+（AB）2=AB2，

∴BC=AB，

∴=；

當滿足條件的一個點E1與點C重合時，BE=BC，

如下圖所示：

∴∠BCE=∠BEC，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∴∠BCE=∠BEC=∠ABC=∠ACB，

∴△BCE∽△ABC，

∴=，

∴BC2=AB×CE=AB2，

∴AB=BC，

∴=；

綜上所述，設=k，若符合條件的點E有兩個，則k的取值范圍是：＜k＜，且k≠1；

故答案為＜k＜，且k≠1．