Question

【題目】等腰Rt△AEF（其中FA＝FE，∠AFE＝90°，AE＝6）與正方形ABCD（其中AB＝2）有共同的頂點A，連接CE，點P是CE的中點，連接PB，PF．

（1）如圖1，當點E恰好落在AB的延長線上時，請求出∠BPF的度數，并求出PB與PF的長．

（2）如圖2，把等腰Rt△AEF繞點A旋轉，當點E恰好在DC的延長線上時，

①請求出PC的長．

②判斷PB與PF的數量關系與位置關系，并說明理由．

（3）把等腰Rt△AEF繞點A由如圖1所示的位置逆時針旋轉180°，在旋轉過程中，點P的位置也隨之改變，請思考點P運動的軌跡，直接寫出點P運動的路程____．（結果保留π）

Answer 1

【答案】（1）∠FPB＝90°；PF＝；BP＝；（2）①CP＝2﹣1；②PF⊥BP，PF＝BP；（3）3π

【解析】

（1）根據勾股定理可求CE=2，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可求BP=PF=，∠FPB=2∠FEA=90°；

（2）①由勾股定理可求DE的長，即可求CE的長，由P點是CE中點可求CP的長；

②過點E作GE∥BC，交BP的延長線于G，連接FG，BF，由題意可證△GEP≌△BCP，可得BP=GP，GE=BC，即可證△AFB≌△EFG，可得BF=FG，∠AFB=∠EFG，可得△BFG是等腰直角三角形，則PF⊥BP，PF=BP；

③以點A為原點，AB為x軸，AD為y軸建立直角坐標系，連接AC，BD交于點G．由題意可求點G（1，1），點C（2，2）設E（x，y），由AE=6，可得x2+y2=36，則可求點P（，），根據兩點公式可求GP=3，即點P在以G為圓心，半徑為3的圓上運動，即可求點P運動的路程．

解：（1）∵FA＝FE，∠AFE＝90°

∴∠FEA＝45°

∵AB＝2，AE＝6

∴BE＝4

在Rt△BCE中，CE＝＝2

∵∠CFE＝90°，點P是CE中點，

∴PE＝PF＝CP＝，

∴∠PEF＝∠PFE

即∠FPC＝2∠FEP

∵∠CBE＝90°，點P是CE中點

∴BP＝PE＝，

∴∠PEB＝∠PBE

∴∠CPB＝2∠PEB

∵∠FPB＝∠FPC+∠CPB＝2∠FEP+2∠PEB＝2∠FEB

∴∠FPB＝90°

（2）①∵AE＝6，AD＝2

∴由勾股定理可得：DE＝＝4,

∴CE＝DE﹣DC＝4﹣2

∵點P是CE中點

∴CP＝＝2﹣1

②過點E作GE∥BC，交BP的延長線于G，連接FG，BF，

∵GE∥BC

∴∠BCE＝∠GEP＝90°且CP＝PE，∠BPC＝∠GPE

∴△GEP≌△BCP（AAS）

∴BP＝GP，GE＝BC

∵CD∥AB

∴∠FAB＝∠FME

∵∠FME+∠FED＝90°，∠FED+∠FEG＝90°

∴∠FME＝∠FEG

∴∠FAB＝∠FEG，且GE＝CB＝AB，AF＝EF

∴△AFB≌△EFG（SAS）

∴BF＝FG，∠AFB＝∠EFG

∵∠AFB+∠BFE＝90°

∴∠BFE+∠EFG＝90°

∴∠BFG＝90°且BF＝FG

∴△BFG是等腰直角三角形且BP＝PG

∴PF⊥BP，PF＝BP

（3）以點A為原點，AB為x軸，AD為y軸建立直角坐標系，連接AC，BD交于點G．

∵四邊形ABCD是正方形，AB＝2

∴AB＝2＝BC＝CD＝AD，AG＝CG

∴點C（2，2）且點A（0，0）

∴點G（1，1）

設E（x，y）

∵AE＝6

∴x2+y2＝36

∵點P是CE的中點，且點C（2，2），點E（x，y）

∴點P（，），

∴GP＝＝＝3

∴點P運動的路程＝＝3π

故答案為：3π