Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，連接AC、BD，作DF⊥AC，交AC于點E，交BC于點F，∠ADB＝2∠DBC，若BC＝，DF＝5，則AB的長為_____．

Answer 1

【答案】6．

【解析】

作輔助線，根據等腰三角形三線合一的性質得AG=BG，根據矩形的性質和判定證明DN=BG，設DN=a，則AB=2a，證明△FDN∽△ACB，列比例式可表示FN，由勾股定理可得結論．

如圖，過D作DG⊥AB于G，DN⊥BC交BC的延長線于N，

∵∠AGD=∠ABC=90°，

∴DG∥BC，

∴∠DBC=∠BDG，

∵∠ADB=2∠DBC，

∴∠ADG=∠BDG，

∵DG⊥AB，

∴AG=BG，

∵∠N=∠ABC=∠DGB=90°，

∴四邊形DGBN是矩形，

∴DN=BG，

設DN=a，則AB=2a，

∵DF⊥AC，

∴∠FEC=∠ACB+∠CFE=90°，

∵∠ACB+∠CAB=90°，

∴∠CFE=∠CAB，

∵∠N=∠ABC=90°，

∴△FDN∽△ACB，

∴，即，

FN=，

Rt△DFN中，由勾股定理得：DF2=DN2+FN2，

∴，

設a2=b，

則50=b+，

8b2+81b﹣4050=0，

(b﹣18)(8b+225)=0，

b1=18，b2=﹣(舍)，

∴a2=18，

∵a＞0，

∴a=3，

∴AB=2a=6，

故答案為：6．