Question

【題目】如圖 (1)，已知△ABC是等邊三角形，以BC為直徑的⊙O交AB、AC于D、E.求證：

（1）△DOE是等邊三角形.
（2）如圖(2)，若∠A=60°，AB≠AC ， 則(1)中結論是否成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵△ABC為等邊三角形，

∴∠B=∠C=60°.

∵OB=OC=OE=OD，∴△OBD和△OEC都為等邊三角形.

∴∠BOD=∠EOC=60°.∴∠DOE=60°.

∴△DOE為等邊三角形.

（2）

解:當∠A=60°，AB≠AC時，（1）中的結論仍然成立.

證明：連結CD.∵BC為⊙O的直徑，

∴∠BDC=90°.∴∠ADC=90°.

∵∠A=60°，∴∠ACD=30°.∴∠DOE=2∠ACD=60°.

∵OD=OE，∴△DOE為等邊三角形.

【解析】（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°.
∵OB=OC=OE=OD，∴△OBD和△OEC都為等邊三角形.
∴∠BOD=∠EOC=60°.∴∠DOE=60°.
∴△DOE為等邊三角形.
（2）當∠A=60°，AB≠AC時，（1）中的結論仍然成立.
證明：連結CD.∵BC為⊙O的直徑，
∴∠BDC=90°.∴∠ADC=90°.
∵∠A=60°，∴∠ACD=30°.∴∠DOE=2∠ACD=60°.
∵OD=OE，∴△DOE為等邊三角形.

【考點精析】本題主要考查了等邊三角形的性質和圓周角定理的相關知識點，需要掌握等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°；頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半才能正確解答此題．