Question

【題目】已知四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD邊上的點，DE與CF交于點G．

（1）如圖①，若四邊形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求證：△ADE∽△DCF；
（2）如圖②，若四邊形ABCD是平行四邊形，試探究：當∠B與∠EGC滿足什么關系時， 成立？并證明你的結論；
（3）如圖③，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD=90°，DE⊥CF，請直接寫出 的值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=∠ADC=90°，

∴∠ADE+∠CDG=90°，

又∵DE⊥CF，∠CDG+∠DCF=90°，

∴∠ADE=∠DCF，

∴△ADE∽△DCF．

（2）

解：當∠B+∠EGC=180°時， 成立，理由如下：

在AD的延長線上取點M，使CM=CF，如圖1所示：

則∠CMF=∠CFM．∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，AD∥BC，

∴∠A=∠CDM，∠FCB=∠CFM，

∵∠B+∠EGC=180°，

∴∠BEG+∠FCB=360°﹣（∠B+∠EGC）=180°，

又∵∠BEG+∠AED=180°，

∴∠AED=∠FCB，

∴∠CMF=∠AED．

∴△ADE∽△DCM，

∴ ，

∴ ；

（3）

解： ；理由如下：

連接AC、BD，交于點M，作CN⊥AD于N，如圖2所示：

∵∠BAD=90°，AB=6，AD=8，

∴BD= = =10，

在△ABD和△CBD中， ，

∴△ABD≌△CBD（SAS），

∴∠ABD=∠CBD，

∵AB=CB，

∴BD⊥AC，AM=CM，

∴∠AMD=90°=∠BAD，

又∵∠ADB=∠MDA，

∴△ABD∽△MAD，

∴AD：DM=BD：AD，

∴AD2=BDDM，即82=10DM，

∴DM=6.4，

∴AM= = =4.8，

∴AC=2AM=9.6，

∵△ACD的面積= ADCN= ACDM，

∴8×CN=9.6×6.4，

解得：CN=7.68，

∵DE⊥CF，

∴∠CFN=∠DAE，

∵CN⊥AD，

∴∠CNF=90°=∠DAE，

∴△ADE∽△NCF，

∴ = = ．

【解析】（1）由矩形的性質得出∠A=∠ADC=90°，由角的互余關系整除∠ADE=∠DCF，即可得出△ADE∽△DCF；（2）在AD的延長線上取點M，使CM=CF，由等腰三角形的性質得出∠CMF=∠CFM．由平行四邊形的性質得出∠A=∠CDM，∠FCB=∠CFM，證出∠BEG+∠FCB=180°，得出∠AED=∠FCB，因此∠CMF=∠AED．證明△ADE∽△DCM，得出對應邊成比例 ，即可得出結論；（3）連接AC、BD，交于點M，作CN⊥AD于N，由勾股定理求出BD，由SAS證明△ABD≌△CBD，得出∠ABD=∠CBD，由等腰三角形的性質得出AM=CM，∠AMD=90°=∠BAD，證明△ABD∽△MAD，得出對應邊成比例求出DM，由勾股定理求出AM，由△ACD的面積求出CN，證明△ADE∽△NCF，得出對應邊成比例，即可得出結果．
【考點精析】關于本題考查的等腰三角形的性質，需要了解等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）才能得出正確答案．