Question

【題目】（1）如圖，點，分別是銳角兩邊上的點，，分別以點，為圓心，以的長為半徑畫弧，兩弧相交于點，連接，．則根據作圖過程判定四邊形是菱形的依據是______．

（2）如圖，在菱形中，，為的中點，將沿翻折得到，射線交于點，若，則______．

Answer 1

【答案】四條邊都相等的四邊形是菱形

【解析】

（1）由AE＝AF＝ED＝DF，根據四條邊都相等的四邊形是菱形，即可證得：四邊形AEDF是菱形．

（2）DE和CB的延長線相交于G'點，連結EF，作EH⊥DF于H點，如圖，根據菱形的性質得A＝180°﹣∠B＝120°，AB＝AD＝2，AD∥BC，則∠1＝∠G，再利用折疊的性質得∠1＝∠2，DG＝DA＝2，EG＝EA＝1，∠3＝∠A＝120°，則∠4＝60°，在Rt△EHG中利用含30度的直角三角形三邊的關系得到HG＝EG＝，EH＝EH＝，則在Rt△DEH中利用勾股定理可計算出DE＝，再證明∠2＝∠G'得到FG'＝FD，證明△AED≌△BEG'得到DE＝G'E，所以FE⊥DG'，然后證明Rt△DEF∽Rt△DHE，利用相似比計算出DF＝，則FG＝FD﹣DG＝，于是得到BF＝FG＝．

解：（1）根據作圖過程判定四邊形ABDC是菱形的依據是：四邊相等的四邊形是菱形，

理由如下：

∵根據題意得：AE＝AF＝ED＝DF，

∴四邊形AEDF是菱形，

（2）DE和CB的延長線相交于G'點，連結EF，作EH⊥DF于H點，如圖，

∵四邊形ABCD為菱形，

∴∠A＝180°﹣∠B＝120°，AB＝AD＝2，AD∥BC

∴∠1＝∠G'，

而E為AB的中點，

∴AE＝BE＝1，

∵△AED沿DE翻折得到△GED，

∴∠1＝∠2，DG＝DA＝2，EG＝EA＝1，∠3＝∠A＝120°，

∴∠4＝60°，

∴在Rt△EHG中，HG＝EG＝，EH＝，

∴在Rt△DEH中，DE＝，

∵AD∥BG'，

∴∠1＝∠G'，

∴∠G'＝∠2，

∴FG'＝FD，

在△AED和△BEG'中，

，

∴△AED≌△BEG'，

∴DE＝G'E，AD＝BG'＝2，

∴FE⊥DG'，

∴∠FED＝90°，

∵∠HDE＝∠EDF，

∴Rt△DEF∽Rt△DHE，

∴，即，

∴DF＝，

∴FG＝FD﹣DG＝﹣2＝，

∵FG'＝FD，BG'＝DG＝2，

∴FG'－BG'＝FD－DG，

∴BF＝FG＝．

故答案為：（1）四條邊都相等的四邊形是菱形，（2）．