Question

【題目】正方形ABCD的邊長為2，過點A作射線AM與線段BD交于點M，∠BAM=α（0°＜α＜90°），作CE⊥AM于點E，點N與點M關于直線CE對稱，連接CN．

（1）如圖①，當0°＜α＜45°時，

①依題意在圖①中補全圖并證明：AM=CN ②當BD∥CN，求DM的值

（2）探究∠NCE與∠BAM之間的數量關系并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）①補圖見解析，證明見解析；②；（2）①當0°＜α＜45°時，∠NCE=2∠BAM；②當45°＜α＜90°時，∠NCE+∠BAM=90°．

【解析】（1）①補全的圖形即可．先證明△ABM≌△CBM得AM=MC，再根據點N與點M關于直線CE對稱得CM=CN，即可得到結論；

②由平行線的性質得到∠AMD=∠ANC，又由等腰三角形的性質得到∠CMN=∠CNM，由①中△ABM≌△CBM得∠AMB=∠CMB，從而∠AMD=∠CMD，進一步得到∠CMN=∠AMD=∠CMD=60°，∠ADB=45°，過點A作AG⊥BD，根據邊長為2，可以求出DM的長．

（2）分兩種情況討論：①當0°＜α＜45°時，∠NCE=2∠BAM．作CE⊥AM于點E，點N與點M關于直線CE對稱，連接CN．由△ABM≌△CBM，可得∠BAM=∠BCM，由∠ABC=∠CEA=90°，BC，AE交于一點，可得∠BAM=∠BCE，即可得到∠MCE=2∠BAM，由點N與點M關于直線CE對稱，可得CN=CM，即可得到∠NCE=∠MCE，進而得出∠NCE=2∠BAM．

②當45°＜α＜90°時，．連接CM，判定△ADM≌△CDM，即可得到∠DAM=∠DCM，再根據∠DAQ=∠ECQ，即可得到∠NCE=∠MCE=2∠DAQ，即，再根據∠BAM=∠BCM，∠BCM+∠DCM=90°，即可得到．

（1）①補全的圖形如圖所示．

∵ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABM=∠CBM，BM=BM，∴△ABM≌△CBM，∴AM=MC．

∵點N與點M關于直線CE對稱，∴CM=CN，∴AM=CN；

②∵BD∥CN，∴∠AMD=∠ANC．

又∵CM=CN，∴∠CMN=∠CNM，由①中△ABM≌△CBM得∠AMB=∠CMB，∴∠AMD=∠CMD，∴∠CMN=∠AMD=∠CMD=60°，∠ADB=45°．

過點A作AG⊥BD．

∵AD=2，∠ADG=45°，∴AG=DG=．

∵∠AMD=60°，∴∠MAG=30°，∴MG=，∴DM=．

（2）①當0°＜α＜45°時，NCE=2∠BAM．

如圖1，連接MC，∵△ABM≌△CBM，∴∠BAM=∠BCM，∵∠ABC=∠CEA=90°，BC，AE交于一點，∴∠BAM=∠BCE，∴∠MCE=2∠BAM，由點N與點M關于直線CE對稱，可得CN=CM，∴∠NCE=∠MCE，∴∠NCE=2∠BAM．

②當45°＜α＜90°時，∠NCE+∠BAM=90°．

如圖，連接CM，∵AD=CD，∠ADM=∠CDM，DM=DM，∴△ADM≌△CDM，∴∠DAM=∠DCM．

∵∠ADQ=∠CEQ=90°，∠AQD=∠CQE，∴∠DAQ=∠ECQ，∴∠NCE=∠MCE=2∠DAQ，∴∠DCM=∠NCE．

∵∠BAM=∠BCM，∠BCM+∠DCM=90°，∴∠NCE+∠BAM=90°．