Question

【題目】如圖，直線PM切⊙O于點M，直線PO交⊙O于A、B兩點，弦AC∥PM，連接OM、BC．求證：

（1）△ABC∽△POM；
（2）2OA2=OPBC．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵直線PM切⊙O于點M，

∴∠PMO=90°，

∵弦AB是直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠PMO，

∵AC∥PM，

∴∠CAB=∠P，

∴△ABC∽△POM；

（2）證明：∵△ABC∽△POM，

∴ ，

又AB=2OA，OA=OM，

∴ ，

∴2OA2=OPBC．

【解析】（1）因為PM切⊙O于點M，所以∠PMO=90°，又因為弦AB是直徑，所以∠ACB=∠PMO=90°，再有條件弦AC∥PM，可證得∠CAB=∠P，進而可證得△ABC∽△POM；（2）由（1）可得 ，又因為AB=2OA，OA=OM；所以2OA2=OPBC．
【考點精析】本題主要考查了切線的性質定理的相關知識點，需要掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑才能正確解答此題．