Question

【題目】如圖，直線y＝﹣x+4與拋物線y＝﹣x2+bx+c交于A，B兩點，點A在y軸上，點B在x軸上．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在x軸下方的拋物線上存在一點P，使得∠ABP＝90°，求出點P坐標；

（3）點E是拋物線對稱軸上一點，點F是拋物線上一點，是否存在點E和點F使得以點E，F，B，O為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；（2）P(－4，－8)；（3）存在，點F的坐標為（5，），（﹣3，），（3，）．

【解析】

（1）由直線表達式求出點A、B的坐標，把A、B點坐標代入二次函數表達式，即可求解；
（2）OA=OB=4，則OB為AC的垂直平分線，則點C坐標為（0，-4），求出直線BC的表達式，即可求解；
（3）存在；分OB是平行四邊形的一條邊或一條對角線兩種情況，分別求解即可．

解：（1）在y＝﹣x+4中，

當x＝0時， y＝4，當y＝0時，x＝4，

即點A、B的坐標分別為（0，4）、（4，0），

將（0，4）、（4，0），代入二次函數表達式，并解得：

b=1，c=4，

拋物線的解析式為：y＝﹣x2+x+4；

（2）∵OA＝OB＝4，

∴∠ABO＝45°，

∵∠ABP＝90°，

則∠PBO=45°，

若直線PB交y軸于點M，

則OM=OB=4，

可得直線BP的解析式為：y=x－4，

聯立：y=x－4，y＝﹣x2+x+4，得：

x=4，y=0(即B點)；x=－4，y=－8，

即P(－4，－8)；

（3）存在；

由y＝﹣x2+x+4知拋物線的對稱軸為：x=1，

設E(1，m)，F(n，﹣n2+n+4)，O(0，0)，B(4，0)，

①當四邊形OBEF是平行四邊形時，

有：EF=4，

∴n-1=-4，即n=-3，

F點坐標為（-3，）；

②當四邊形OBFE是平行四邊形時，

有：EF=4，

n-1=4，即n=5，

F點坐標為（5，）；

③當四邊形OFBE是平行四邊形時，

有：，

即n=3，

F點坐標為（3，）；

綜上所述：點F的坐標為（5，），（﹣3，），（3，）．